## [Nombre de Betti](/fr/node/63439) Définition Un invariant numérique égal au rang (dimension sur un corps) d'un groupe d'homologie ou de cohomologie en un degré donné, ou équivalemment le rang d'un module libre apparaissant dans une résolution minimale ; il compte les cycles ou relations indépendants en ce degré. ## Principe Principe Les nombres de Betti sont organisés par l'homologie : le i‑ème nombre de Betti est la dimension de H_i(–;k) sur un corps choisi k (ou le rang de la partie libre sur Z), et il se comporte de façon additive pour les sommes directes et via les suites exactes longues en homologie. ## Démonstration Démonstration Pour un tore T^2, H_0, H_1, H_2 à coefficients dans un corps k ont pour dimensions 1, 2, 1 respectivement, donc b_0=1, b_1=2, b_2=1. En algèbre, les nombres de Betti gradués d'un module sur un anneau de polynômes enregistrent les rangs des summands libres en chaque degré d'une résolution gradée minimale. ## Mauvaise application Mauvaise application Utiliser des nombres de Betti calculés avec coefficients entiers comme s'ils détectaient la torsion (ils n'enregistrent que le rang de la partie libre), ou traiter les nombres de Betti comme sensibles à de petites modifications du modèle sans fixer l'homotopie ou les coefficients. ## Conséquence Conséquence Les nombres de Betti fournissent des mesures grossières mais calculables de la topologie et de la structure algébrique : ils déterminent les caractéristiques d'Euler par sommes alternées, détectent la présence de cycles non triviaux et entrent dans des invariants comme les polynômes de Poincaré. ## Inversion Inversion La mesure complémentaire concerne les invariants détectant la torsion (par exemple les sousgroupes de torsion ou les invariants basés sur Ext) plutôt que le rang libre ; inverser l'accent remplace le comptage des rangs par l'étude des phénomènes d'ordre fini. ## Limite Limite Dépend de l'anneau de coefficients : sur un corps les nombres de Betti sont des dimensions de vecteur et bien comportés ; sur Z il faut séparer le rang (Betti) de la torsion. Pour des résolutions minimales on exige en général des hypothèses locales ou graduées pour assurer l'unicité des rangs. ## Tension sémantique Tension sémantique Les nombres de Betti sont souvent mis en tension avec les nombres de Bass : les Betti comptent les summands projectifs/libres dans les résolutions tandis que les Bass comptent des summands injectifs. La tension est entre information sur le rang libre et information sur la torsion/injectivité. ## Synthèse Synthèse Un nombre de Betti est la dimension d'un groupe d'homologie/cohomologie en un degré donné (ou le rang des summands libres dans une résolution minimale) ; il quantifie les cycles ou générateurs indépendants en ce degré et constitue un résumé numérique fondamental de la complexité topologique ou algébrique.