## [Multiplicité de Hilbert–Samuel](/fr/node/63431) Définition Un invariant numérique e(I,M) défini pour un idéal m-primaire I dans un anneau local noethérien (A,m) et un A-module de type fini M qui mesure le terme dominant de la croissance de la longueur de M/I^nM comme polynôme en n pour n assez grand ; équivalemment le coefficient dominant normalisé du polynôme de Hilbert–Samuel. ## Principe Principe Principe de longueur asymptotique : les longueurs des quotients par des puissances croissantes d’un idéal m-primaire coïncident éventuellement avec un polynôme dont le coefficient dominant, après normalisation par des factorielles, est la multiplicité ; ceci capture la taille locale et l’intensité de la singularité au point fermé. ## Démonstration Démonstration Dans un anneau local régulier de dimension d, la multiplicité de Hilbert–Samuel de l’idéal maximal vaut 1 ; pour une singularité de type hypersurface la multiplicité dépasse 1, reflétant une complexité singulière plus grande. Le calcul utilise souvent des réductions aux idéaux de paramètres ou des filtrations pour obtenir le polynôme de Hilbert–Samuel. ## Mauvaise application Mauvaise application Employer la multiplicité de Hilbert–Samuel pour des idéaux qui ne sont pas m-primaires ou interpréter la multiplicité comme une mesure complète du type de singularité — la multiplicité distingue la sévérité mais ne détermine pas des invariants plus fins comme le nombre de Milnor ou des composantes incorporées. ## Conséquence Conséquence La multiplicité quantifie la taille algébrique locale : elle apparaît en théorie des intersections comme nombres d’intersection, contrôle les stratifications d’équisingularité et fournit des critères numériques pour la régularité (par ex. multiplicité un implique régularité dans le contexte Cohen–Macaulay). ## Inversion Inversion Considérer des suites de longueurs pour des filtrations non primaires ou étudier des multiplicités hilbertiennes graduées déplace l’attention de la croissance m-adique locale vers la croissance graduée/globale ; la perspective inverse met en lumière d’autres invariants et conventions de normalisation. ## Limite Limite Définie pour des anneaux locaux noethériens par rapport à des idéaux m-primaires ou des filtrations appropriées ; elle n’a pas de sens direct pour des idéaux non primaires quelconques ou dans des contextes dépourvus de notion de longueur ou de colongueur finie. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension avec la multiplicité du polynôme de Hilbert et la multiplicité d’intersection car des constructions similaires de coefficient dominant existent en cadres gradués et locaux mais diffèrent par normalisation et interprétation géométrique ; la multiplicité rivalise aussi avec d’autres mesures de singularité. ## Synthèse Synthèse La multiplicité de Hilbert–Samuel est le coefficient dominant normalisé du polynôme qui gouverne la croissance asymptotique des colongueurs des puissances d’un idéal m-primaire ; elle convertit la croissance locale des longueurs en un nombre unique mesurant la taille algébrique et la sévérité de la singularité.