## [Profondeur](/fr/node/63421) Définition Un invariant d'un module (ou d'un anneau local) défini comme la longueur d'une suite régulière maximale contenue dans un idéal donné ou la longueur maximale de suites d'éléments non-diviseurs de zéro ; il mesure la non-dégénérescence des relations. ## Principe Principe La profondeur compte combien d'éléments successifs agissent comme non-diviseurs de zéro sur un module ; une suite régulière de longueur d indique que le module résiste à certaines dégénérescences jusqu'à d étapes. ## Démonstration Démonstration Pour un anneau local noethérien R et un module M de type fini, si existe une suite x1,...,xr d'éléments de l'idéal maximal qui sont des non-diviseurs de zéro sur les quotients successifs, alors profondeur(M) ≥ r, et l'égalité tient lorsque la suite est maximale. ## Mauvaise application Mauvaise application Interpréter la profondeur comme codimension ou comme dimension de Krull sans précaution est erroné ; profondeur et dimension sont reliées par des inégalités mais sont des invariants distincts pouvant diverger notamment en cas pathologique. ## Conséquence Conséquence La profondeur gouverne des propriétés homologiques : elle apparaît dans la formule d'Auslander–Buchsbaum et caractérise la propriété de Cohen–Macaulay lorsque la profondeur égale la dimension de Krull, entraînant des annulations favorables de cohomologie locale. ## Inversion Inversion Inverser la notion revient à se focaliser sur la présence de diviseurs de zéro : au lieu de compter les non-diviseurs de zéro, on mesurerait à quel stade apparaissent des diviseurs de zéro, fournissant une information d'obstruction complémentaire. ## Limite Limite Définie principalement pour les modules sur anneaux commutatifs noethériens et les anneaux locaux ; en contexte non-noethérien ou non-commutatif, la profondeur peut être indéfinie ou exiger des définitions adaptées. ## Tension sémantique Tension sémantique La profondeur est en tension avec la dimension et la dimension projective : alors que la dimension mesure la taille des chaînes de premiers, la profondeur mesure la résistance aux diviseurs de zéro ; leur interaction est centrale et parfois paradoxale. ## Synthèse Synthèse La profondeur est la mesure homologique du nombre d'étapes non-diviseurs de zéro qu'un module admet ; combinée à la dimension de Krull, elle indique des propriétés de régularité et classe des modules tels que les Cohen–Macaulay.