##  [Dimension de Krull](/fr/node/63419) 

 Définition

Le supremum des longueurs n de chaînes d'idéaux premiers (ou de sous-objets premiers) P0 ⊂ P1 ⊂ ... ⊂ Pn dans un anneau commutatif ou une structure algébrique analogue ; une notion primaire de dimension algébrique.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La dimension de Krull organise un espace par les inclusions strictes les plus longues de sous-structures premières ; la hauteur des premiers et les longueurs de chaînes mesurent combien de couches indépendantes de spécialisation algébrique existent.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans l'anneau de polynômes k[x1,...,xn] sur un corps, la dimension de Krull vaut n car on peut former des chaînes (0) ⊂ (x1) ⊂ (x1,x2) ⊂ ... d'idéaux premiers de longueur n.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Traiter la dimension de Krull comme une dimension topologique ou de type espace vectoriel sans vérifier sa définition conduit à des erreurs ; par exemple, l'identifier aveuglément au degré de transcendance en contexte non noethérien peut échouer.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Identifier correctement la dimension de Krull informe l'intuition géométrique sur les composantes irréductibles, la codimension et le comportement des chaînes de premiers ; elle régit de nombreux résultats en algèbre commutative et géométrie algébrique.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Inverser le concept reviendrait à mesurer des longueurs de chaînes minimales plutôt que maximales ou à se concentrer sur des rangs d'espaces vectoriels ; cela donne des invariants différents ne rendant pas compte de la profondeur des chaînes de premiers.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Définie pour les anneaux commutatifs, les schémas et structures voisines où les idéaux premiers ont un sens ; elle ne s'applique pas directement aux anneaux non commutatifs sans adaptation et peut se comporter de façon pathologique en cas non noethérien.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

La tension existe entre la dimension de Krull et d'autres notions comme la dimension de Kronecker ou les dimensions homologiques ; bien qu'elles soient reliées, elles saisissent des aspects structurels distincts — profondeur des chaînes de premiers contre longueurs de résolutions projectives.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La dimension de Krull est la mesure algébrique des inclusions hiérarchiques d'idéaux premiers et fournit une notion fondamentale de dimension reliant les chaînes d'anneaux à la codimension géométrique et à la spécialisation.