##  [Multiplicité Algébrique](/fr/node/63417) 

 Définition

L'exposant d'une valeur propre en tant que racine du polynôme caractéristique d'un opérateur linéaire ou d'une matrice ; autrement dit, la puissance du facteur linéaire correspondant dans la factorisation polynomiale.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La multiplicité algébrique est donnée par la factorisation du polynôme caractéristique : si (λ − λ0)^m divise le polynôme, alors λ0 a multiplicité algébrique m.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une matrice 3×3 dont le polynôme caractéristique est (λ−2)^2(λ−3), la valeur propre 2 a multiplicité algébrique 2 et 3 a multiplicité algébrique 1 ; le polynôme caractéristique enregistre ces comptes même si l'espace propre est de dimension inférieure.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre multiplicité algébrique et nombre de vecteurs propres linéairement indépendants est une erreur fréquente, notamment lorsque une racine multiple correspond à un espace propre 'défectif'.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Une utilisation correcte fournit les exposants requis pour la forme de Jordan et garantit que la somme des multiplicités algébriques coïncide avec le degré du polynôme caractéristique.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'inversion du concept donne la multiplicité géométrique : la dimension de l'espace propre au lieu du multiplicité en tant que racine du polynôme.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux opérateurs linéaires ou matrices de dimension finie sur un corps, où le polynôme caractéristique est défini ; n'est pas directement pertinent pour des opérateurs en dimension infinie ou des notions spectrales sans polynôme.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Il existe une tension entre multiplicité algébrique (comptage de racine polynomiale) et multiplicité géométrique (dimension d'espace vectoriel) ; elles coïncident pour les opérateurs diagonalisables mais divergent sinon.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La multiplicité algébrique est la mesure algébrique, via le polynôme, de la 'force' d'une valeur propre ; combinée aux informations sur les espaces propres, elle détermine les décompositions canoniques comme la forme de Jordan.