## [Multiplicité](/fr/node/63416) Définition La multiplicité est le nombre entier décrivant combien de fois une racine, une valeur propre ou une intersection donnée apparaît : la multiplicité algébrique (d'une racine) est l'exposant du facteur (x−α)^m dans un polynôme, la multiplicité algébrique d'une valeur propre est sa multiplicité comme racine du polynôme caractéristique ; la multiplicité géométrique compte les vecteurs propres indépendants. ## Principe Principe La multiplicité traduit une structure répétée et commande le comportement local : une multiplicité élevée correspond à l'annulation des dérivées jusqu'à l'ordre m−1, affecte la diagonalisation (multiplicité algébrique vs géométrique) et intervient en théorie des intersections comme multiplicité d'intersection. ## Démonstration Démonstration Polynôme : (x−1)^3 a 1 comme racine de multiplicité 3 ; matrice : un bloc de Jordan de taille 3 pour la valeur propre λ donne multiplicité algébrique 3 mais multiplicité géométrique 1, produisant un opérateur non diagonalisable. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer que la multiplicité algébrique égale la multiplicité géométrique ou que la multiplicité est négligeable pour la sensibilité : par exemple traiter une racine triple comme trois racines simples proches sous perturbation sans vérifier la stabilité ou la séparabilité. ## Conséquence Conséquence Un comptage correct des multiplicités informe les algorithmes de factorisation, la stabilité des méthodes de recherche de racines, la décomposition spectrale et le comptage d'intersections ; la multiplicité influence le comportement des méthodes itératives et la sensibilité aux perturbations. ## Inversion Inversion L'inverse est le cas de racine simple (multiplicité 1) ou d'intersection transverse, représentant un comportement générique et stable ; passer d'une haute multiplicité à des racines simples est souvent un processus de désingularisation. ## Limite Limite Les notions de multiplicité varient selon le contexte : multiplicité algébrique, multiplicité géométrique et multiplicité d'intersection diffèrent et ne doivent pas être confondues ; en caractéristique positive ou dans les schémas non réduits la multiplicité interagit subtilement avec la séparabilité et la structure du schéma. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre multiplicité algébrique et multiplicité géométrique : elles coïncident seulement dans des circonstances particulières ; de même, multiplicité versus ordre ou degré peut être confondu si la catégorie ambiante (polynôme, schéma, analytique) n'est pas précisée. ## Synthèse Synthèse La multiplicité est la mesure entière de la répétition des phénomènes algébriques — racines, valeurs propres, intersections — avec des variantes algébrique et géométrique qui gouvernent la stabilité, la diagonalisabilité et la structure locale singulière et qui doivent être interprétées dans leur contexte.