## [Signature](/fr/node/63412) Définition La signature (ou inertie) d'une forme bilinéaire symétrique ou d'une forme quadratique sur les réels est le triplet ordonné (p, n, z) donnant le nombre de valeurs propres positives, négatives et nulles d'une matrice symétrique la représentant, décrivant son motif de positivité. ## Principe Principe La loi d'inertie de Sylvester : sous transformations par congruence sur R, les nombres p et n sont invariants, ainsi la signature classe les formes quadratiques à un changement de variables réel près ; elle distingue formes définies, semi-définies et indéfinies. ## Démonstration Démonstration Une matrice symétrique 3×3 diagonalée en diag(2, -1, 0) a pour signature (1,1,1) : une valeur propre positive, une négative, une nulle. Cela permet de conclure que la forme quadratique associée est indéfinie et singulière. ## Mauvaise application Mauvaise application Remplacer la signature par le signe du déterminant ou le rang ; par exemple supposer qu'un déterminant positif implique la positivité définie ignore la possibilité de valeurs propres négatives ou nulles. ## Conséquence Conséquence Connaître la signature permet de décider des propriétés de positivité, de compter les directions positives et négatives utiles en optimisation et en théorie de Morse, et de déterminer la géométrie qualitative des ensembles de niveau de la forme quadratique. ## Inversion Inversion Inverser le signe de la forme (multiplier par −1) échange les comptes positifs et négatifs, transformant une forme définie positive en définie négative ; conceptuellement, l'inversion met en évidence des directions complémentaires tout en préservant le nombre de modes nuls. ## Limite Limite Principalement définie pour les formes bilinéaires symétriques ou les formes quadratiques réelles (et, avec adaptations, pour les formes hermitiennes) sur des corps où l'ordre a un sens ; sur des corps algébriquement clos ou sans ordre réel, la notion de signature perd son sens. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre la signature et des invariants comme le déterminant, le rang ou la liste des valeurs propres : ces invariants sont liés mais diffèrent par le niveau de détail ou l'invariance (congruence vs similarité), et n'ont donc pas la même puissance de classification. ## Synthèse Synthèse La signature est le comptage invariant par congruence des directions spectrales positives, négatives et nulles d'une forme réelle symétrique, fournissant la classification décisive de la positivité et la forme géométrique qualitative associée.