##  [Trace](/fr/node/63398) 

 Définition

Pour une matrice carrée ou un endomorphisme, la trace est la somme des éléments diagonaux dans une représentation matricielle ; équivalemment la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité algébrique et un invariant par similarité.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La linéarité et la cyclicité sont centrales : trace(A+B)=trace(A)+trace(B), trace(cA)=c·trace(A), et trace(AB)=trace(BA) pour des matrices de tailles compatibles ; le coefficient de λ^{n−1} du polynôme caractéristique est −trace(A).

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : A = [[1,2],[3,4]] a pour trace 1+4=5. Ses valeurs propres somment à 5, et pour tout S inversible trace(S^{-1}AS)=trace(A), donc la trace est invariante par conjugaison.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Conclure nilpotence ou non-inversibilité d'une matrice à partir de trace=0 : une trace nulle n'implique pas qu'une matrice soit nilpotente ou singulière (la trace ne fournit qu'une somme spectrale), ni déduire les valeurs propres individuellement.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

La trace fournit un invariant simple et calculable qui contrôle des coefficients du polynôme caractéristique, apparaît dans la linéarisation du déterminant et sert de caractère en théorie des représentations ; elle est additive pour les sommes directes et stable par conjugaison.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Au lieu de résumer une matrice par sa trace (un scalaire), analyser le spectre complet ou la forme de Jordan pour récupérer la structure spectrale détaillée perdue par la sommation.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Définie pour les matrices carrées sur des corps et pour les opérateurs de classe trace en dimension infinie ; pour des opérateurs généraux en dimension infinie la trace peut être indéfinie et dépendre du choix de base ou de la topologie.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre trace et déterminant : la trace agrège les valeurs propres de façon additive tandis que le déterminant les multiplie ; tension aussi entre la définition apparente dépendante de la base (somme diagonale) et le fait que la trace est invariante par similarité.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La trace est le scalaire invariant par similarité donné par la somme des éléments diagonaux, ou équivalemment la somme des valeurs propres ; sa linéarité et sa cyclicité gouvernent ses usages algébriques et ses limites.