##  [Codimension de l'Image](/fr/node/63396) 

 Définition

La codimension de l'image (l'espace atteint) d'une application linéaire entre espaces vectoriels de dimension finie ; autrement dit la dimension de l'espace d'arrivée moins le rang, mesurant le défaut de surjectivité.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Corang = dim W − rang(T) pour T : V → W. Dans les situations de dualité en dimension finie, le corang coïncide avec la nullité de la transposée (ou adjointe) sur l'espace dual.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : T : R^5 → R^7 de rang 4 a corang 7−4=3 ; trois directions du but ne sont pas atteintes par T, donc l'image est un sous-espace de R^7 de dimension 4 et de codimension 3.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer le corang comme synonyme de nullité (dimension du noyau) pour la même application, ou appliquer la formule de dimension finie dans des cadres infiniment dimensionnels sans tenir compte de la clôture topologique de l'image ou des duaux continus.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Connaître le corang quantifie l'obstruction à la surjectivité : corang=0 ssi T est surjective. Cela oriente la construction d'inverses à droite et contrôle les conditions de solvabilité pour des systèmes linéaires non homogènes.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Inverser la perspective vers le rang : au lieu de compter les directions du but manquantes, compter celles atteintes. Alternativement, considérer la nullité pour mesurer l'échec d'injectivité plutôt que celui de surjectivité.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini pour des applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension finie ; en dimension infinie le corang peut être infini ou dépendre de la clôture topologique de l'image et des espaces duaux ; pour les applications non linéaires, des invariants différents sont requis.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre corang et nullité : tous deux mesurent un 'défaut' mais dans des positions duales (codomaine contre domaine). Tension aussi avec des invariants apparentés comme la dimension du cokernel ou l'indice de Fredholm qui combinent nullité et corang.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le corang est l'entier égal à la codimension de l'image d'un opérateur linéaire : dim(codomaine)−rang, mesurant précisément combien de directions cibles la transformation ne couvre pas.