##  [Torsion](/fr/node/63390) 

 Définition

La torsion désigne la propriété des éléments d'avoir un ordre fini sous l'opération pertinente, et le sous-groupe de torsion (ou sous-module de torsion) est l'ensemble de tous ces éléments à l'intérieur de l'objet algébrique considéré.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La torsion isole la partie périodique d'une structure : les éléments annihilés par un certain entier non nul (ou par un scalaire non nul dans le contexte des modules) forment un sous-objet distingué qui sépare souvent l'objet en complément sans torsion.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Le groupe Q/Z est entièrement constitué d'éléments de torsion : chaque classe rationnelle a un ordre additif fini. En revanche Z est sans torsion car aucun entier non nul n'a d'ordre additif fini.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer « torsion » sans préciser le contexte (groupe versus module sur un anneau) et mal interpréter ainsi les annulateurs (par exemple sur un anneau à diviseurs de zéro la définition naive échoue), ou confondre torsion avec nilpotence ou divisibilité.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Identifier le sous-groupe de torsion permet des décompositions structurelles (par exemple les groupes abéliens de type fini se scindent en torsion ⊕ partie libre), affine la classification et éclaire les calculs d'extensions et d'homologie.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'absence de torsion (sans-torsion) implique que tout élément non nul a ordre infini ou n'est pas annihilé par les scalaires autorisés, ce qui entraîne d'autres propriétés d'injection et d'extension.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

La torsion est bien définie pour les groupes abéliens et les modules sur des domaines intègres ; pour des modules sur des anneaux avec diviseurs de zéro il faut remplacer « ordre fini » par « annihilé par un non-diviseur de zéro » ou utiliser une théorie de torsion adaptée—le sens exact dépend donc de la catégorie.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

La torsion en algèbre (éléments d'ordre fini) est souvent confondue avec la torsion topologique (torsion en homologie) ou avec des notions géométriques de torsion ; la tension vient de l'usage d'un même vocabulaire pour des invariants distincts mais apparentés.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La torsion capture le noyau d'ordre fini d'un objet algébrique : la sous-collection d'éléments annihilés par un scalaire ou une puissance non nulle, qui isole la structure périodique et permet de décomposer en parties à torsion et sans torsion.