##  [Ordre](/fr/node/63387) 

 Définition

Pour un élément d'une structure algébrique munie d'une opération binaire et d'un élément neutre, l'ordre est le plus petit entier positif n tel que l'application de l'opération n fois à l'élément donne l'élément neutre ; s'il n'existe pas d'entier tel, l'élément est dit d'ordre infini.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'ordre mesure la périodicité d'un élément sous itération de l'opération et détermine le sous-groupe cyclique engendré par cet élément ; c'est un invariant fondamental reliant le comportement de l'élément à la structure des sous-groupes.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans le groupe additif Z/12Z la classe de 3 a pour ordre 4 car 3+3+3+3 ≡ 0 (mod 12) et aucune somme positive plus petite ne donne 0. Dans le groupe symétrique S3 le cycle 3 (1 2 3) a pour ordre 3 car le composer trois fois donne l'identité.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre l'ordre d'un élément avec l'ordre d'un ensemble ou d'un groupe, ou supposer sans justification que tout élément d'un groupe infini a un ordre fini.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Connaître l'ordre d'un élément donne son sous-groupe cyclique complet, contraint ses puissances (par exemple g^k ne dépend que de k modulo n) et intervient dans des théorèmes structurels comme le théorème de Lagrange pour les groupes finis.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Un élément d'ordre infini engendre un sous-groupe cyclique infini et n'a aucune périodicité finie ; c'est la négation du comportement de torsion.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

La notion est définie uniquement quand l'itération d'une opération binaire sur un même élément a un sens (groupes, monoïdes, modules via addition répétée) ; elle exige un élément neutre et ne s'applique pas directement à des objets algébriques sans répétition ou identité.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

L'ordre peut être confondu avec l'exposant (le PPCM global des ordres des éléments) ou avec des mesures de type valuation qui ordonnent les éléments ; la tension porte sur l'invariant entier local par rapport aux invariants globaux de la structure.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'ordre est le nombre fondamental de périodicité d'un élément : la plus petite répétition positive qui ramène à l'élément neutre, identifiant le sous-groupe cyclique engendré et soutenant de nombreuses relations de divisibilité et de sous-groupes en algèbre.