##  [Inflation](/fr/node/63377) 

 Définition

Application canonique de relèvement (pullback) qui transporte des classes cohomologiques, des classes d'extensions ou des données d'obstruction analogues depuis un quotient, un sous-objet ou un modèle plus simple vers un objet ambiant plus grand ; concrètement, c'est l'application induite par la précomposition avec un morphisme structurel qui réalise dans l'objet plus grand des classes définies sur l'objet source.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Pour un morphisme p : X → Y (souvent une projection sur un quotient ou une inclusion de points fixes de coefficients), la composition par p induit une application p^* : H^*(Y; −) → H^*(X; −) ou un foncteur analogue sur Ext ; l'idée organisatrice est le transport d'invariants par relèvement fonctoriel.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

En cohomologie de groupes : si N ⊲ G est normal et M est un G-module, l'inflation est l'homomorphisme inf : H^n(G/N, M^N) → H^n(G, M) obtenu en composant les cocycles avec la projection G → G/N, réalisant ainsi des classes du quotient comme classes de G.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Considérer l'inflation comme une application qui se scinde toujours ou qui préserve les types de décomposition ; par exemple, supposer que inf est injective ou surjective sans vérifier les conditions d'annulation ou les hypothèses sur les points fixes des coefficients induit des erreurs.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Appliquée correctement, l'inflation incorpore dans l'objet ambiant des obstructions au niveau du quotient et permet leur interaction avec une structure plus fine ; elle convertit des invariants grossiers en informations cohomologiques de l'objet ambiant exploitables pour comparer avec restriction ou transfert.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Notion opposée à la corestriction/transfert ou à la restriction : au lieu de pousser des classes vers le bas (corestriction/transfert) ou de restreindre des classes ambiantes à un sous-objet, l'inflation relève des classes depuis un quotient ou un domaine plus simple vers l'objet plus grand.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique lorsqu'il existe une application canonique entre objets (p.ex. projection sur un quotient ou inclusion de points fixes) qui induit un pullback fonctoriel dans la théorie choisie de (co)homologie ou d'extensions ; elle n'engendre pas de nouvelles classes en dehors de celles provenant de la source et peut être mal comportée sans hypothèses sur les coefficients ou la finitude.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Proche de la notion de restriction (ramener des classes de l'objet ambiant à un sous-objet) et de la corestriction/transfert (pousser des classes vers le haut) ; la tension s'observe selon qu'on interprète « remonter vers l'objet plus grand » (inflation) ou « restreindre vers le sous-objet » (restriction) suivant la direction du diagramme fondamental.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'inflation est le relèvement fonctoriel canonique qui réalise comme classes dans un objet ambiant des données cohomologiques ou d'extensions définies sur un quotient ou un modèle plus simple, facilitant la comparaison avec d'autres morphismes et l'étude de la façon dont des invariants grossiers reflètent la structure fine.