## [Forme Canonique Rationnelle](/fr/node/63364) Définition Un représentant canonique de la classe de similarité d'un opérateur linéaire sur un corps, construit à partir des facteurs invariants (diviseurs unitaires du polynôme caractéristique) comme somme directe de blocs compagnon ; il classe les matrices à similitude près sans supposer le scindage du polynôme. ## Principe Principe Décomposer l'espace vectoriel en modules cycliques pour l'opérateur correspondant aux facteurs invariants ; chaque facteur invariant détermine un bloc compagnon et leur somme directe (bloque diagonale) est unique à l'ordre près et fournit une forme canonique sous similarité sur le corps de base. ## Démonstration Démonstration Pour un endomorphisme avec facteurs invariants f1 | f2 | ... | fk, assembler les matrices compagnon de ces polynômes sur la diagonale. Cette matrice en blocs a comme polynôme caractéristique le produit des fi et est similaire à l'opérateur original sur le même corps. ## Mauvaise application Mauvaise application Employer la forme canonique rationnelle pour déduire des autovecteurs explicites ou prétendre à la diagonalisation : les blocs compagnon ne sont pas nécessairement diagonaux et la forme exprime la classe de similarité mais pas une base d'autovecteurs ; on peut confondre à tort blocs compagnon et blocs de Jordan. ## Conséquence Conséquence Fournit une classification des classes de similarité indépendante du corps et constitue la forme normale appropriée lorsque les valeurs propres n'appartiennent pas au corps de base ; permet le calcul algorithmique d'invariants comme le polynôme minimal et les diviseurs élémentaires. ## Inversion Inversion La forme canonique de Jordan affine la forme rationnelle lorsque le polynôme caractéristique se scinde : les blocs compagnon se décomposent alors en blocs de Jordan qui reflètent les multiplicités géométriques et les tailles nilpotentes. ## Limite Limite Applicable sur tout corps et ne nécessite pas la clôture algébrique ; elle ne fournit cependant pas de réductions orthogonales ou unitaires et est moins directement liée aux projections spectrales que les décompositions diagonales ou de Schur. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension avec la forme de Jordan : les deux donnent des représentants canoniques de la similarité, mais la forme de Jordan exige le scindage et produit une structure nilpotente plus fine, tandis que la forme rationnelle met l'accent sur les facteurs invariants et fonctionne sur le corps d'origine. ## Synthèse Synthèse La forme canonique rationnelle encode la structure de module d'un opérateur linéaire via ses facteurs invariants et blocs compagnon, offrant un représentant canonique de similarité valable sur le corps de base et servant de classification robuste lorsque le scindage des valeurs propres n'est pas disponible.