## [Décomposition de Jordan](/fr/node/63363) Définition La décomposition canonique d'un endomorphisme linéaire en une somme de parties qui commutent : une partie semi-simple (diagonalisable) et une partie nilpotente, chacune étant un polynôme de l'opérateur initial ; la décomposition est unique lorsqu'elle existe. ## Principe Principe Pour un endomorphisme dont le polynôme minimal se scinde en facteurs linéaires sur le corps, on peut écrire X = X_s + X_n avec X_s semi-simple, X_n nilpotent, [X_s,X_n]=0, et X_s, X_n polynômes en X ; il existe des versions multiplicatives pour les éléments inversibles (semi-simple × unipotent). ## Démonstration Démonstration Un bloc de Jordan J = λ I + N illustre la décomposition : la partie semi-simple est λ I (diagonalisable) et la partie nilpotente est N (strictement triangulaire supérieure) ; l'assemblage des blocs fournit la décomposition globale sur l'espace propre généralisé. ## Mauvaise application Mauvaise application Confondre la décomposition de Jordan (séparation additive en parties semi-simples et nilpotentes commutantes) avec la forme canonique de Jordan comme motif matriciel ; supposer que la décomposition existe sur le corps de base sans vérifier le scindage conduit à des erreurs. ## Conséquence Conséquence La décomposition de Jordan sépare le comportement spectral (diagonalisable) du comportement nilpotent (cisaillement), permettant une analyse d'invariants raffinée, un calcul fonctionnel sur la partie semi-simple et des résultats structuraux en théorie des représentations et groupes algébriques. ## Inversion Inversion La réversion consiste à traiter un opérateur uniquement par sa forme normale de Jordan ou par des blocs rationnels sans séparer explicitement des opérateurs semi-simples et nilpotents qui commutent ; les décompositions additives et multiplicatives offrent des points de vue complémentaires. ## Limite Limite L'existence et l'unicité exigent généralement que le polynôme minimal se scinde (p.ex. sur un corps algébriquement clos ou parfait approprié) ; sur des corps ou anneaux plus généraux des obstructions peuvent apparaître et les composantes peuvent n'exister que dans une extension. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre décomposition de Jordan et forme canonique rationnelle : les deux capturent la structure non diagonalisable, mais la décomposition de Jordan met l'accent sur les pièces additives commutantes (semi-simples vs nilpotentes) tandis que la forme rationnelle encode les facteurs invariants sans nécessairement produire des parties polynomiales commutantes sur le corps de base. ## Synthèse Synthèse La décomposition de Jordan partitionne nettement un endomorphisme en contributions spectrales et nilpotentes commutantes : lorsqu'elle s'applique, elle fournit une séparation additive unique qui clarifie le contenu diagonalisable de l'opérateur et son action nilpotente résiduelle, reliant les blocs de Jordan locaux à la structure algébrique globale.