## [Triangularisation par Similarité](/fr/node/63362) Définition Le processus de recherche d'une base dans laquelle un opérateur linéaire ou une matrice s'exprime par une matrice triangulaire supérieure ; les éléments diagonaux donnent alors les valeurs propres (avec leur multiplicité algébrique) tandis que les éléments au-dessus de la diagonale codent les interactions de sous-espaces propres généralisés. ## Principe Principe La triangularisation existe dès que le polynôme caractéristique (ou minimal) se scinde sur le corps de base : on construit un drapeau de sous-espaces invariants tels que l'opérateur envoie chaque sous-espace dans lui-même et agit par scalaires sur les quotients successifs, produisant une matrice triangulaire supérieure par similarité. ## Démonstration Démonstration Sur C, le théorème de Schur fournit une matrice unitaire U telle que U* A U soit triangulaire supérieure avec les valeurs propres sur la diagonale ; numériquement cela donne une réduction stable qui révèle le spectre sans exiger une diagonalisation complète. ## Mauvaise application Mauvaise application Considérer une matrice triangulaire supérieure comme si elle était diagonale — supposer que la seule diagonale détermine la classe de conjugaison de l'opérateur — ignore les couplages nilpotents au-dessus de la diagonale et peut conduire à des erreurs sur les puissances ou exponentielles. ## Conséquence Conséquence La forme triangulaire rend les valeurs propres explicites et facilite le calcul des polynômes caractéristiques et des algorithmes numériques itératifs ; c'est une simplification plus faible mais plus généralement disponible que la diagonalisation. ## Inversion Inversion La réciproque est la diagonalisation : lorsque les entrées hors diagonale au-dessus de la diagonale s'annulent dans une représentation triangulaire, l'opérateur est diagonalisable et la forme triangulaire se réduit à une diagonale. ## Limite Limite La triangularisation exige généralement que les polynômes se scindent dans le corps de base ; sur des corps où les valeurs propres se trouvent dans des extensions, il peut être nécessaire de passer à une extension de corps. Elle ne fournit pas en général des blocs canoniques (contrairement aux formes de Jordan ou rationnelle). ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre triangularisation et forme de Jordan : les deux placent les valeurs propres sur la diagonale, mais Jordan affine la structure triangulaire en blocs nilpotents canoniques tandis que la triangularisation laisse des entrées supérieures non canoniques. ## Synthèse Synthèse La triangularisation ramène un opérateur à une action triangulaire reflétant un drapeau invariant : elle expose le spectre sur la diagonale et encode les relations des sous-espaces propres généralisés au-dessus de la diagonale, constituant une simplification robuste quand la diagonalisation échoue ou n'est pas disponible.