##  [Élimination de Gauss](/fr/node/63359) 

 Définition

Une procédure systématique consistant à appliquer des opérations élémentaires sur les lignes (et, si nécessaire, des permutations de colonnes) à une matrice pour obtenir une forme échelonnée ou échelonnée réduite ; utilisée pour résoudre des systèmes linéaires, calculer le rang et obtenir des inverses ou des factorisations comme LU (avec pivotage et permutations si requis).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Créer des zéros sous (et éventuellement au-dessus) des positions pivots en soustrayant des multiples appropriés des lignes pivot ; le choix des pivots et le redimensionnement des lignes gouvernent la stabilité numérique et déterminent quand la rétro-substitution ou la réduction supplémentaire donne des solutions uniques ou paramétrées.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Résoudre le système x + y = 2, x - y = 0. Matrice augmentée [[1,1|2],[1,-1|0]] ; soustraire la ligne 1 à la ligne 2 pour obtenir [[1,1|2],[0,-2|-2]] ; diviser la ligne 2 par -2: [[1,1|2],[0,1|1]] ; soustraire la ligne 2 à la ligne 1 pour obtenir [[1,0|1],[0,1|1]] donc x=1,y=1.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Effectuer l’élimination sans pivotage sur des données presque singulières ou en virgule flottante, entraînant des erreurs d’arrondi catastrophiques ; appliquer des opérations sur les lignes sans effectuer les permutations de colonnes correspondantes pour le calcul de déterminants ou d’invariants de similarité.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Quand elle est correctement appliquée, elle fournit des ensembles de solutions (uniques ou paramétrés), le rang, et construit des décompositions (LU avec pivotage) ou des inverses pour les matrices carrées de plein rang ; elle est la colonne vertébrale computationnelle de l’algèbre linéaire.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Au lieu d’éliminer vers une forme triangulaire, on peut résoudre via factorisations matricielles (SVD pour la robustesse numérique) ou utiliser formules d’inversion directes (règle de Cramer) pour des petits systèmes symboliques ; ces alternatives échangent coût de calcul et stabilité.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S’applique aux systèmes linéaires sur corps et aux matrices numériques avec précautions de stabilité ; sur des anneaux arbitraires l’élimination est formellement valide mais les étapes de pivot/inversion exigent des unités, et l’élimination seule ne classe pas les opérateurs linéaires à similitude près.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Parfois confondue avec la décomposition LU ou avec la réduction en forme échelonnée réduite (RREF) ; tension entre la méthode symbolique exacte et les implémentations numériques stables qui requièrent pivotage et mise à l’échelle.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L’élimination de Gauss est la suite algorithmique d’opérations élémentaires sur les lignes qui réduit la matrice d’un système linéaire en forme échelonnée, permettant de résoudre les variables par rétro-substitution ; un pivotage approprié transforme la procédure en outil robuste de factorisation et d’inversion.