## [Clôture Radicale](/fr/node/63352) Définition L'opération qui associe à une sous-structure (généralement un idéal) l'ensemble des éléments dont une puissance appartient à la sous-structure ; pour un idéal I, son radical rad(I) = {x | x^n ∈ I pour un certain n ≥ 1}, donnant un objet fermé par radical (un idéal égal à son propre radical). ## Principe Principe On forme le radical en fermant par prise de racines de puissances : un élément appartient au radical exactement lorsqu'il appartient à tout idéal premier contenant la sous-structure initiale ; les radicaux s'expriment comme intersections de sur-idéaux premiers et détectent les quotients réduits. ## Démonstration Démonstration Dans k[x], le radical de (x^2) est (x) parce que tout polynôme dont une puissance appartient à (x^2) doit être divisible par x. Dans Z, rad((12)) = (6) puisque les facteurs premiers de 12 sont 2 et 3 et le radical est engendré par le produit des premiers distincts. ## Mauvaise application Mauvaise application Confondre clôture radicale et clôture intégrale ou adjoindre des éléments algébriques ; prendre des radicaux sans tenir compte de la structure ambiante peut effacer l'information de multiplicité et confondre des composantes primaires distinctes. ## Conséquence Conséquence Prendre des radicaux donne des quotients réduits (le quotient par un idéal radical est réduit) et identifie le support premier ; on élimine l'information nilpotente, simplifiant l'image géométrique au prix de perdre les multiplicités et les données immergées. ## Inversion Inversion L'opération inverse est le passage à des puissances ou à des épaississements primaires (remplacer un idéal par ses puissances ou composantes primaires), qui réintroduit des nilpotents et l'information de multiplicité que le radical oublie. ## Limite Limite La clôture radicale est une opération intrinsèque sur les idéaux et les sous-variétés mais ne capture ni l'intégralité ni des structures algébriques plus fines ; elle est plus faible que la clôture intégrale et la décomposition primaire et peut ne pas refléter des propriétés de finitude ou de descente. ## Tension sémantique Tension sémantique La clôture radicale est en tension avec la clôture intégrale et la décomposition primaire : elle enregistre le support (les idéaux premiers) mais pas les multiplicités ni les relations intégrales, et peut donc être inadaptée pour des questions de finitude ou de normalisation. ## Synthèse Synthèse La clôture radicale est la clôture canonique par prise de racines d'une sous-structure qui produit un objet radical (réduit) en intersectant tous les sur-idéaux premiers ; elle révèle le support et élimine les nilpotents tout en abandonnant les subtilités de multiplicité et d'intégralité.