## [Décomposition Primaire](/fr/node/63350) Définition L'expression d'une sous-structure convenablement finie (généralement un idéal dans un anneau noethérien) comme intersection de sous-structures primaires, chaque composante primaire ayant un radical premier qui contrôle le comportement nilpotent. ## Principe Principe On décompose en isolant des composantes dont les radicaux sont premiers : un idéal I s'écrit I = ⋂ Q_i avec chaque Q_i primaire et rad(Q_i) = P_i ; les premiers associés P_i sont intrinsèques et traduisent la multiplicité géométrique ou combinatoire, tandis que les composantes primaires peuvent ne pas être uniques mais ont des parties minimales déterminées de façon unique. ## Démonstration Démonstration Dans Z l'idéal (12) admet la décomposition primaire (12) = (4) ∩ (3), où (4) est 2-primaire et (3) est 3-primaire. Dans k[x,y], un idéal définissant des courbes qui se croisent se décompose en composantes correspondant aux branches et aux points immergés. ## Mauvaise application Mauvaise application Prétendre à l'unicité des composantes primaires sans distinguer composantes minimales et immergées, ou tenter une décomposition primaire dans des anneaux non-Noethériens où l'existence peut échouer, conduit à des conclusions erronées. ## Conséquence Conséquence La décomposition primaire révèle les premiers associés, les multiplicités primaires et la structure immergée de l'objet ; elle permet la localisation, le calcul des radicaux et des parties primaires, et l'interprétation géométrique des composantes et des singularités. ## Inversion Inversion L'opposé consiste à former des sommes ou produits de composantes primaires pour obtenir des combinaisons non-intersectionnelles ; inverser l'intersection fait généralement perdre les informations primaires fines (primes immergés, multiplicités) mises en évidence par la décomposition. ## Limite Limite La décomposition primaire requiert des hypothèses de finitude (anneaux noethériens) pour l'existence et la calculabilité algorithmique ; l'énoncé d'unicité vaut seulement pour les composantes primales minimales et les premiers associés, tandis que les composantes immergées sont non-uniques et sensibles aux choix. ## Tension sémantique Tension sémantique La décomposition primaire est proche mais distincte de la décomposition en idéaux premiers et de la décomposition radicale : la factorisation en idéaux premiers échoue souvent, la décomposition radicale n'enregistre que les radicaux (primes) tandis que la décomposition primaire conserve les données nilpotentes et de multiplicité. ## Synthèse Synthèse La décomposition primaire est la représentation canonique par intersection d'une sous-structure finie en composantes primaires dont les radicaux sont premiers, exposant à la fois le support premier et la structure de multiplicité nilpotente, et faisant le lien entre descriptions algébriques et géométriques.