## [Complétion](/fr/node/63345) Définition Opération consistant à adjoindre à un objet algébrique les limites de suites de Cauchy (ou les éléments définis par une limite projective liée à une filtration ou une topologie) de manière à rendre l'objet obtenu complet pour la topologie ou la filtration considérée. ## Principe Principe On rend complet en ajoutant formellement les limites nécessaires pour que les suites de Cauchy convergent; équivalemment on prend une limite projective (ou on quotient par l'intersection des voisinages de zéro) de sorte à obtenir une propriété universelle pour les morphismes continus. ## Démonstration Démonstration Pour un anneau commutatif A et un idéal I, la complétion I-adique à = lim← A/I^n est obtenue en adjoignant les suites compatibles de représentants modulo I^n ; pour A = Z et I = (p), la complétion p-adique donne les entiers p-adiques Z_p. ## Mauvaise application Mauvaise application Compléter sans vérifier au préalable que la topologie est séparée (non-Hausdorff) puis identifier la complétion à un sous-objet de l'original : on peut alors confondre l'objet complété et l'original et faire disparaître ou doubler des nilpotents. ## Conséquence Conséquence L'objet complété vérifie la propriété de complétude choisie et une propriété universelle pour les morphismes continus ou filtrés ; sous des hypothèses de finitude, la complétion préserve souvent des propriétés d'exactitude et permet des méthodes analytiques (séries formelles). ## Inversion Inversion La notion opposée consiste à passer d'un objet complet à un sous-objet dense ou à l'objet non complété en oubliant les points-limites ; on perd alors la propriété universelle et la convergence des suites de Cauchy. ## Limite Limite La complétion demande une topologie ou une filtration donnée (topologie métrique, I-adique, graduée) ; sans cette donnée la complétion n'est pas définie. La complétion peut ne pas préserver la finitude, l'intégralité ou la réduitude sans hypothèses supplémentaires (Noethérien, séparé). ## Tension sémantique Tension sémantique La complétion est proche de la clôture topologique mais s'en distingue : la clôture ajoute des points-limites à l'intérieur d'un même enveloppant, tandis que la complétion construit souvent un nouvel objet contenant des limites formelles absentes de l'original ; la complétion peut modifier des invariants algébriques que la clôture n'altère pas nécessairement. ## Synthèse Synthèse La complétion est le procédé canonique d'adjoindre les limites formelles imposées par une topologie ou une filtration pour obtenir un objet algébrique complet satisfaisant une propriété universelle, sous contrôle des conditions de séparation et de finitude.