## [Conjugaison](/fr/node/63329) Définition L'opération qui envoie un élément x d'une structure algébrique (typiquement un groupe ou un objet de type groupe) sur son conjugué g x g^{-1} par un autre élément g, décrivant l'action de symétrie interne par automorphismes intérieurs. ## Principe Principe La conjugaison organise les éléments en orbites sous l'action de la structure sur elle-même par automorphismes intérieurs ; les éléments d'une même orbite sont équivalents du point de vue de la symétrie interne. ## Démonstration Démonstration Dans le groupe symétrique S_3, la conjugaison de la transposition (1 2) par le 3-cycle (1 2 3) donne (1 3) : (1 2 3)(1 2)(1 2 3)^{-1} = (1 3). Pour des matrices 2×2 inversibles, conjuguer A par P donne la transformation de similarité P A P^{-1}, qui conserve les valeurs propres. ## Mauvaise application Mauvaise application Considérer la conjugaison comme une opération commutative ou supposer que g x g^{-1} = x pour tout g ; cela ignore que la conjugaison modifie x sauf si x est central. Une autre erreur est d'appliquer sans précaution des formules de conjugaison de groupes à des endomorphismes non inversibles. ## Conséquence Conséquence Un emploi correct identifie les éléments centraux (fixés par toutes les conjugaisons), partitionne la structure en classes de conjugaison utilisées en combinatoire et en théorie des représentations, et fournit des automorphismes intérieurs qui préservent de nombreux invariants. ## Inversion Inversion Au lieu d'appliquer la conjugaison pour déplacer des éléments, on peut étudier les centralisateurs et les ensembles fixes : la renversement consiste à rechercher les éléments fixés par toutes les conjugaisons (le centre) plutôt qu'à transformer les éléments par conjugaison. ## Limite Limite Définie chaque fois que l'élément conjuguant possède un inverse (groupes, groupoïdes appropriés, unités d'anneaux, matrices inversibles). Non définie pour des semi-groupes arbitraires dépourvus d'inverses ; dans les algèbres de Lie l'analogue est l'action adjointe plutôt que la conjugaison multiplicative. ## Tension sémantique Tension sémantique La conjugaison (action intérieure) se distingue de la similarité ou du changement de coordonnées en algèbre linéaire selon le contexte : la similarité est une conjugaison de matrices, mais au niveau catégoriel 'conjugaison' peut entrer en tension avec d'autres notions d'équivalence (isomorphisme vs automorphisme intérieur). ## Synthèse Synthèse La conjugaison est l'opération de symétrie interne g: x ↦ g x g^{-1} qui regroupe les éléments en classes de conjugaison, détecte la centralité et engendre des automorphismes intérieurs conservant les invariants structurels tout en montrant comment les éléments se transforment sous la symétrie propre à la structure.