##  [Somme Directe](/fr/node/63319) 

 Définition

Construction qui combine une famille de modules ou de groupes en un objet constitué de n-uplets ayant un nombre fini de composantes non nulles, les opérations étant définies composante par composante ; c'est le coproduit dans la catégorie des modules.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Définie par la propriété universelle de coproduit : les applications depuis la somme directe correspondent à des familles compatibles d'applications depuis chaque composant, les inclusions canoniques fournissant les injections.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une famille dénombrable d'espaces vectoriels Vi, la somme directe ⊕i Vi est l'ensemble des n-uplets (vi) tels que vi = 0 pour presque tous i ; les applications linéaires depuis ⊕i Vi sont déterminées par leurs compositions avec les inclusions de chaque Vi.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer la somme directe là où le produit direct est requis : confondre les vecteurs à support fini avec les n-uplets arbitraires conduit à des erreurs sur la convergence élémentaire, la complétude ou les espaces duaux.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Permet de décomposer des modules en facteurs plus simples, de construire des objets libres et de calculer des invariants homologiques ; pour un nombre fini d'indices, somme directe et produit direct coïncident, simplifiant de nombreux arguments.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Remplacer la somme directe par le produit direct supprime la contrainte de support fini : le produit autorise des n-uplets arbitraires et satisfait la propriété universelle du produit plutôt que du coproduit, modifiant le comportement des morphismes.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique dans les catégories où les coproduits s'expriment par des n-uplets à support fini (modules, espaces vectoriels) ; pour des familles infinies la somme directe diffère du produit et les sommes topologiques ou complétées exigent une structure supplémentaire.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Souvent confondue avec la somme directe interne vs externe (module comme somme de sous-modules vs coproduit externe) et avec le produit direct ; le terme « somme » masque souvent la contrainte de support fini.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La somme directe est la construction de coproduit formant des n-uplets à support fini, fournissant des injections de chaque composant et codant les décompositions de modules tout en se distinguant du produit cartésien pour les familles infinies.