##  [Idéal](/fr/node/63305) 

 Définition

Un sous-ensemble I d'un anneau R fermé par addition et par multiplication par des éléments arbitraires de R (r·i et i·r appartiennent à I) ; dans les anneaux commutatifs on exige r·i ∈ I pour tous r∈R, i∈I.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Un idéal formalise l'idée d'un sous-ensemble stable par les opérations de l'anneau, analogue à un noyau, permettant la formation du quotient R/I avec des opérations bien définies.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans Z, l'ensemble nZ des multiples d'un entier n est un idéal ; dans k[x], l'ensemble (f) de tous les multiples d'un polynôme f est un idéal principal engendré par f.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre idéal et sous-anneau : un idéal ne contient pas nécessairement l'élément unité 1 et n'est en général pas fermé par multiplication interne sauf si cela découle de la multiplication du anneau.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les idéaux permettent la construction de quotients, la décomposition primaire, les localisations et l'étude des noyaux d'homomorphismes.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Un sous-ensemble multiplicatif ou un sous-anneau contenant 1 et fermé par multiplication mais non absorbant par addition se distingue d'un idéal ; ces ensembles ne produisent pas de quotients par la même procédure.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Distinguer idéaux bilatéraux, à gauche et à droite dans les anneaux non commutatifs ; en algèbre commutative 'idéal' signifie généralement bilatéral. Un idéal est un sous-ensemble d'un anneau, pas seulement d'un module (même si c'est un module).

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Idéal vs sous-module : un idéal est un sous-module de l'anneau considéré comme module sur lui-même, mais restreindre la notion à celle de noyau ou de sous-anneau peut masquer la propriété d'absorption par la multiplication.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un idéal est un sous-ensemble d'un anneau fermé par addition et absorbant par multiplication par les éléments de l'anneau ; il sert de notion de 'noyau' appropriée permettant de quotienter et d'analyser la structure de l'anneau.