## [Anneau de Division](/fr/node/63298) Définition Un anneau associatif unitaire dont tout élément non nul possède un inverse multiplicatif ; la multiplication peut être non commutative. On le nomme parfois anneau divisionnaire ou skew field en anglais. ## Principe Principe L'organisation repose sur l'inversibilité de tous les éléments non nuls : associativité et existence d'un élément unité permettent des manipulations algébriques même si ab ≠ ba. ## Démonstration Démonstration Les quaternions constituent un exemple classique non commutatif : chaque quaternion non nul a un inverse, les équations linéaires admettent donc des solutions adaptées à la multiplication à gauche ou à droite, mais l'ordre des facteurs importe. ## Mauvaise application Mauvaise application Prendre l'algèbre des matrices sur un corps pour un anneau de division sous prétexte que beaucoup de matrices sont inversibles ; il existe des matrices singulières et toutes les matrices non nulles ne sont pas inversibles, donc M_n(K) n'est pas un anneau de division pour n>1. ## Conséquence Conséquence L'algèbre linéaire à gauche et à droite reste bien définie : on dispose de divisions non nulles et de propriétés d'annulation ; la structure des algèbres centrales simples et la classification des cas finis découlent de l'exigence d'inversibilité. ## Inversion Inversion Un anneau qui admet des diviseurs de zéro ou des éléments non nuls non inversibles : il perd les propriétés d'annulation et la possibilité de diviser universellement. ## Limite Limite Nécessite l'associativité et un élément unité ; exclut les algèbres de division non associatives (par exemple les octonions) si l'on réserve « anneau de division » aux structures associatives ; l'élément zéro n'est pas inversible. ## Tension sémantique Tension sémantique Confusion possible avec le mot corps : tous deux exigent des inverses pour les éléments non nuls, mais le corps impose en plus la commutativité de la multiplication ; certains auteurs préfèrent « algèbre de division » pour inclure les cas non associatifs. ## Synthèse Synthèse Un anneau de division est un anneau associatif unitaire où chaque élément non nul admet un inverse multiplicatif ; il généralise le concept de corps en abandonnant la commutativité tout en conservant la puissance des inverses universels.