##  [Action de Groupe](/fr/node/63283) 

 Définition

Une Action De Groupe est un homomorphisme d'un groupe G vers le groupe des permutations Sym(X) d'un ensemble X, équivalemment une application G × X → X vérifiant e·x = x pour l'identité e et (gh)·x = g·(h·x) pour tous g,h ∈ G et x ∈ X ; elle décrit comment les éléments du groupe permutent ou transforment les éléments de X.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Faire correspondre la symétrie d'un ensemble à un homomorphisme préservant la structure : l'identité agit trivialement et la composition des éléments du groupe correspond à la composition de leurs actions sur l'ensemble.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Le groupe S3 agissant sur {1,2,3} par permutations des coordonnées ; Z agissant sur Z par translations n·k = n+k ; l'action fournit des orbites comme {1,2,3} sous S3 et des stabilisateurs tels que Stab(1) = { permutations fixant 1 }.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Considérer toute application G × X → X comme une action sans vérifier les axiomes d'identité et de compatibilité, ou confondre une action de groupe avec une représentation linéaire (qui exige un espace vectoriel et la linéarité), conduit à des erreurs sur orbites et stabilisateurs.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Une action bien définie engendre des orbites, des stabilisateurs, une décomposition de X en classes d'orbites, la relation orbite-stabilisateur reliant la taille d'une orbite à l'indice d'un sous-groupe, et une représentation par permutations de G ; la fidélité de l'action équivaut à l'injectivité de l'homomorphisme dans Sym(X).

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Inverser le concept donne des collections de permutations de X non fermées par composition ou sans inverses ; de telles collections ne définissent pas une action de groupe. Inversement, une action avec noyau non trivial correspond à une immersion non fidèle de G dans Sym(X).

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique à des actions sur des ensembles arbitraires ; si X porte une structure supplémentaire (topologie, structure différentiable, espace vectoriel) l'action doit respecter cette structure pour être continue/lisse/linéaire. Sont exclus les applications qui ne satisfont pas aux axiomes d'homomorphisme et les actions dans d'autres catégories sans compatibilité explicite.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre l''action de groupe' vue comme action par permutations sur un ensemble et la 'représentation de groupe' comme action linéaire sur un espace vectoriel ; les deux sont des homomorphismes vers des groupes d'automorphismes mais diffèrent par la catégorie cible (Sym(X) vs GL(V)).

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une Action De Groupe traduit la symétrie abstraite de G en permutations concrètes de X via un homomorphisme G → Sym(X), produisant orbites et stabilisateurs qui relient la structure algébrique de G à la structure combinatoire ou géométrique de X.