##  [Groupe Quotient](/fr/node/63279) 

 Définition

Le groupe dont les éléments sont les classes à gauche (ou à droite) d'un sous-groupe normal N dans G, avec la multiplication définie par (aN)(bN) = (ab)N, ce qui donne une structure de groupe bien définie sur l'ensemble des classes.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Écraser un sous-groupe normal en l'identité en passant aux classes d'équivalence (cosets) ; le quotient encode le groupe ambiant modulo le sous-groupe normal et reflète les images par homomorphisme.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour G et un N normal, l'ensemble G/N est un groupe : par exemple, si N est le sous-groupe des entiers pairs dans (Z, +), alors Z/N a deux classes correspondant à la parité et est isomorphe à C2.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Tenter de former un quotient par un sous-groupe non normal — la multiplication des classes serait mal définie car le produit des représentants dépendrait du choix des représentants de classes.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les groupes quotients fournissent des images homomorphes canoniques de G, permettent la classification par noyaux et soutiennent les suites exactes et la théorie des extensions ; ils réduisent la complexité en identifiant un sous-groupe normal entier à l'identité.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Sans sous-groupe normal on ne peut pas former un groupe quotient de la même manière ; prendre des partitions arbitraires de G ne produit pas un groupe sauf si elles coïncident avec des classes modulo un sous-groupe normal.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini uniquement lorsque le sous-groupe est normal dans le groupe ambiant ; le quotient reflète la structure globale modulo ce sous-groupe et n'emporte pas les informations perdues lors de l'écrasement de N.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Parfois confondu avec des modules quotient ou des partitions d'ensembles ; le groupe quotient est une construction algébrique spécifique nécessitant la normalité et une opération compatible, distincte d'un simple ensemble quotient.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un groupe quotient G/N est le résultat algébrique d'identifier tous les éléments d'un sous-groupe normal à l'identité, produisant un nouveau groupe qui représente G modulo N et correspond aux images homomorphes de noyau N.