## [Teorema de Atiyah–Singer](/es/node/64065) Definición Un teorema que iguala el índice analítico de un operador diferencial elíptico en una variedad compacta (el índice de Fredholm que mide la diferencia de dimensiones del núcleo y del conúcleo) con un índice topológico calculado a partir de las clases características del símbolo del operador en K-teoría, conectando así análisis, topología y K-teoría algebraica. ## Principio Principio El índice analítico de un operador elíptico depende únicamente de la clase en K-teoría de su símbolo principal; esa clase en K-teoría se empareja con clases características de la variedad para producir un número topológico calculable igual al índice analítico de Fredholm. ## Demostración Demostración En una variedad spin compacta, el operador de Dirac es elíptico; su índice analítico coincide con el género  (A-hat) de la variedad, que puede calcularse a partir de las clases de Pontryagin. Esta igualdad calcula la diferencia de dimensiones de los espinores armónicos a partir de datos puramente topológicos. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicar el teorema a operadores no elípticos, a operadores en variedades no compactas sin condiciones de frontera adecuadas, o considerar invariantes analíticos dependientes de la métrica (por ejemplo valores propios) como determinados por el índice topológico. ## Consecuencia Consecuencia Proporciona un puente que permite calcular invariantes analíticos (índices de operadores PDE, existencia de soluciones) mediante métodos topológicos; impone fuertes restricciones en geometría, topología y física matemática (por ejemplo fórmulas de índice para anomalías). ## Inversión Inversión Invertido, los datos del índice topológico no determinan el espectro analítico completo de un operador; por el contrario, datos espectrales analíticos finos pueden variar mientras el índice topológico permanece fijo. ## Límite Límite Se aplica a operadores diferenciales elípticos (o pseudo-diferenciales elípticos adecuados) en variedades compactas con condiciones de frontera prescritas cuando proceda; no se aplica a ecuaciones no elípticas, operadores de rango infinito sin la propiedad de Fredholm, ni a cantidades analíticas más allá del índice sin hipótesis adicionales. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre la noción analítica de índice (configuración analítica dependiente de la teoría de Fredholm) y la noción topológica (clase en K-teoría y clases características); posible confusión entre el índice y invariantes espectrales más finos como los invariantes eta. ## Síntesis Síntesis El Teorema de Indice de Atiyah–Singer identifica el índice de Fredholm de un operador elíptico con el apareamiento topológico de su clase de símbolo en K-teoría con las clases características de la variedad, unificando perspectivas analíticas, topológicas y algebraicas y haciendo calculable el índice por medios topológicos.