## [Lema de Yoneda](/es/node/64048) Definición Resultado fundamental de la teoría de categorías que identifica los elementos de un prefunto en un objeto con las transformaciones naturales desde el funtor representable Hom(−, A) hacia ese prefunto, representando así los objetos de una categoría por sus funtores de puntos y estableciendo un empotramiento plenamente fiel en la categoría de prefuntos. ## Principio Principio Representabilidad y naturalidad: los valores de un prefunto F en un objeto A están en biyección canónica con las transformaciones naturales Hom(−, A) ⇒ F; las transformaciones naturales entre representables recuperan los morfismos de la categoría original. ## Demostración Demostración En la categoría de conjuntos, para un objeto fijo X y un prefunto F : C^op → Set, cada elemento x ∈ F(X) define una transformación natural η_x: Hom(−, X) ⇒ F enviando f: Y → X a F(f)(x); el lema de Yoneda afirma que esta asignación es biyectiva y natural en F y X. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar una biyección punto por punto entre conjuntos Hom y valores de un prefunto sin respetar la naturalidad para inferir un isomorfismo de objetos, o aplicar el lema en contextos sin conjuntos Hom (categorías no localmente pequeñas) o sin el enriquecimiento adecuado, lo que invalida la biyección. ## Consecuencia Consecuencia El empotramiento de Yoneda A ↦ Hom(−, A) es plenamente fiel, por lo que las cuestiones sobre objetos y morfismos pueden estudiarse mediante sus funtores representables; proporciona una prueba práctica de isomorfismo y una vía para reconstruir la estructura categórica dentro de la categoría de prefuntos. ## Inversión Inversión En lugar de representar objetos por sus funtores de puntos, puede considerarse expresar los prefuntos como colímites de representables (perspectiva co-Yoneda); invertir la dirección enfatiza cómo los prefuntos se construyen a partir de representables más que cómo los objetos se incluyen en prefuntos. ## Límite Límite Se aplica a categorías localmente pequeñas y prefuntos ordinarios; en contextos enriquecidos, superiores o de gran tamaño, la afirmación requiere la formulación de Yoneda enriquecida o superior correspondiente; no afirma igualdad de objetos, sino isomorfismos canónicos de funtors o biyecciones naturales. ## Tensión semántica Tensión semántica Hay una tensión entre el lenguaje informal que habla de 'elementos de un objeto' y la visión categórica de que los objetos solo tienen 'puntos' a través de sus funtores de puntos; usos competidores a veces diluyen la condición de naturalidad al tratar correspondencias punto por punto como suficientes para identificar estructuras. ## Síntesis Síntesis El lema de Yoneda unifica representabilidad y naturalidad: las fibras de un prefunto sobre un objeto corresponden exactamente a las transformaciones naturales desde el funtor representable de ese objeto, proporcionando un empotramiento plenamente fiel que permite estudiar objetos categóricos mediante sus funtores de puntos.