## [Teoría de Galois](/es/node/64043) Definición El estudio de la relación entre extensiones de cuerpos y grupos de automorfismos del cuerpo que permutan raíces algebraicas, estableciendo una correspondencia entre cuerpos intermedios y subgrupos de un grupo de automorfismos y vinculando cuestiones de solucionabilidad a propiedades del grupo. ## Principio Principio La normalidad y separabilidad de una extensión producen un grupo de automorfismos cuyo retículo de subgrupos refleja el retículo de cuerpos intermedios; la correspondencia de Galois asocia campos fijos a subgrupos y subgrupos a campos fijos, organizando la estructura de la extensión por simetría. ## Demostración Demostración Demostración clásica: para una extensión finita separable normal E/F (extensión de Galois) hay una biyección entre cuerpos intermedios K (F ⊂ K ⊂ E) y subgrupos H ≤ Gal(E/F), dada por K ↦ Gal(E/K) y H ↦ E^H (el campo fijo). Escenario concreto: el cuerpo de descomposición de x^3−2 sobre Q tiene grupo de Galois S_3 y cuerpos intermedios correspondientes a subgrupos, lo que explica la solucionabilidad por radicales o su ausencia. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Asumir que toda extensión algebraica es de Galois y por tanto posee una correspondencia nítida subgrupo–campo; ignorar la inseparabilidad en característica positiva; o tratar al grupo de Galois solo como un grupo de permutaciones de raíces listadas sin considerar los automorfismos de cuerpo ni la topología en el caso infinito. ## Consecuencia Consecuencia Cuando es aplicable, la teoría de Galois reduce problemas de cuerpos a teoría de grupos: clasificación de extensiones, determinación de solucionabilidad por radicales, construcción explícita de resolventes y uso de invariantes cohomológicos para problemas de obstrucción. También motiva la topología profinita en la teoría de Galois infinita. ## Inversión Inversión El reverso enfatiza la reconstrucción de datos de cuerpos a partir de datos grupales o cohomológicos: dado un grupo profinito con estructura extra se intenta realizarlo como grupo de Galois de algún cuerpo; la inversión pone de manifiesto limitaciones y problemas de rigidez (problema inverso de Galois). ## Límite Límite Se ocupa principalmente de extensiones separables normales (de Galois); la teoría finita es la más simple, mientras que las extensiones infinitas requieren grupos profinitos y la topología de Krull. Excluye extensiones no separables sin estructura adicional y la correspondencia clásica puede fallar o requerir modificación en característica positiva o para extensiones no normales. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre ver a los grupos de Galois como grupos de permutaciones sobre conjuntos explícitos de raíces y verlos como grupos de automorfismos abstractos con topología profinita. Hay sentidos cercanos en la teoría de Galois diferencial o en análogos geométricos/étales donde los objetos y simetrías difieren aunque perdure la idea organizadora. ## Síntesis Síntesis La teoría de Galois enlaza extensiones de cuerpos con grupos de simetría: cuando existen normalidad y separabilidad, los cuerpos intermedios corresponden a subgrupos de automorfismos, lo que permite traducir problemas algebraicos en términos grupales y cohomológicos y guiar tanto soluciones constructivas como obstrucciones.