##  [Objeto No-Hopfiano](/es/node/64017) 

 Definición

Objeto en una categoría (comúnmente un módulo, grupo o estructura algebraica) que admite un endomorfismo suprayectivo que no es un isomorfismo; equivalentemente, la suprayectividad de un endomorfismo no implica invertibilidad para ese objeto.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Los objetos hopfianos satisfacen que todo endomorfismo suprayectivo es inyectivo (y por tanto un automorfismo); los ejemplos no-hopfianos surgen cuando el objeto admite un cociente isomorfo a sí mismo mediante una suryección no trivial, típicamente ligado a estructuras infinitas o divisibles.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Ejemplo ilustrativo: un espacio vectorial con base contable admite una aplicación lineal suprayectiva que no es inyectiva (mapa de desplazamiento que manda e1 a 0 y en+1 a en), por lo que como objeto de la categoría de espacios vectoriales es no-hopfiano; de forma similar, ciertos grupos o módulos infinitos construidos con auto-cocientes proporcionan instancias clásicas no-hopfianas.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Afirmar comportamiento no-hopfiano para objetos finitos o que satisfacen condiciones de cadena (por ejemplo, módulos finitamente generados sobre anillos noetherianos) es un uso indebido, ya que tales hipótesis de finitud normalmente implican hopfianidad.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Cuando un objeto es no-hopfiano, fallan los razonamientos que deducen isomorfismo a partir de suprayectividad; esto afecta a la consideración de invariantes bajo quotientes, construcciones autorregresivas y puede impedir la transferencia ingenua de propiedades de finitud a lo largo de suryecciones.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La noción inversa es hopfiano: todo endomorfismo suprayectivo es un automorfismo, propiedad que suele estar asegurada por condiciones de finitud como generación finita sobre anillos noetherianos o longitud finita.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Ámbito y exclusiones: no-hopfiano se refiere a la existencia de un endomorfismo suprayectivo no invertible y es sensible a la categoría ambiente y a las hipótesis de finitud; no afirma nada sobre las aplicaciones inyectivas, que corresponden a la noción co-hopfiana.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Existe tensión entre las hipótesis de finitud (que tienden a asegurar hopfianidad) y las construcciones que explotan la auto-similitud infinita (que producen ejemplos no-hopfianos); confundir estos contextos conduce a generalizaciones incorrectas.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Un objeto no-hopfiano manifiesta concretamente el fallo de que la suprayectividad implique invertibilidad: admite una autoaplicación suprayectiva con núcleo no trivial, fenómeno típico de estructuras infinitas o auto-similares y excluido bajo hipótesis de finitud estándar.