## [Anillo No Coherente](/es/node/64009) Definición Un anillo en el que algún ideal finitamente generado no es finitamente presentado; equivalentemente, existe un homomorfismo entre módulos libres finitamente generados cuyo núcleo no es finitamente generado. Esto constituye el fallo de la coherencia. ## Principio Principio Fallo de la presentación finita de las relaciones: aunque un ideal esté generado por un número finito de elementos, el módulo de relaciones entre esos generadores requiere infinitos generadores, de modo que las relaciones no están controladas finitamente. ## Demostración Demostración Una situación típica es el anillo de polinomios en contables variables k[x1,x2,...]; el ideal I = (x1,x2,x3,...) muestra que como módulo no es finitamente presentado, produciendo la no coherencia por la existencia de núcleos no finitamente generados relacionados con I. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar argumentos que asumen que los núcleos de aplicaciones entre módulos finitamente generados son finitamente generados (por ejemplo, tratar haces como coherentes sin comprobar hipótesis) conduce a conclusiones incorrectas; aplicar herramientas homológicas que requieren coherencia da resultados poco fiables. ## Consecuencia Consecuencia La categoría de módulos finitamente presentados puede no ser exacta: los núcleos pueden quedar fuera de la clase, obstruyendo muchas construcciones en geometría algebraica y álgebra homológica que dependen de la presentabilidad finita de módulos o haces. ## Inversión Inversión Un Anillo Coherente, donde todo ideal finitamente generado es finitamente presentado y los núcleos entre módulos libres finitos son finitamente generados. ## Límite Límite La no coherencia es una declaración sobre la presentación finita de ideales finitamente generados y de núcleos; no implica automáticamente la ausencia de otras propiedades de finitud (un anillo puede ser no coherente y aun así satisfacer otras condiciones locales de finitud), y el fenómeno aparece en contextos conmutativos y no conmutativos. ## Tensión semántica Tensión semántica «No coherente» a veces se confunde con «no noetheriano», pero mientras todos los anillos noetherianos son coherentes, la no coherencia identifica un fallo distinto: el de las relaciones más que el de la generación; la tensión está entre generación y presentación. ## Síntesis Síntesis Un Anillo No Coherente es un anillo donde la generación finita no conduce a presentación finita: algunos ideales finitamente generados tienen infinitas relaciones independientes, de modo que los núcleos de morfismos finitos no están controlados y se pierden propiedades de exactitud importantes.