## [Resolución Inyectiva](/es/node/63943) Definición Una resolución inyectiva de un objeto M en una categoría abeliana es un complejo exacto 0→M→I^0→I^1→… con cada I^i inyectivo; tal coresolución se usa para calcular funtores derivados derechos, p. ej. Ext^i(−,M) o los funtores derivados R^iΓ de un functor Γ left‑exacto. ## Principio Principio Los objetos inyectivos absorben extensiones: incrustar M en una envoltura inyectiva y iterar produce una coresolución cuya Hom hacia otros objetos es exacta. La idea organizadora es reemplazar M por un complejo manejable de objetos coflácidos que eliminan las obstrucciones Ext al aplicar funtores covariantes left‑exactos. ## Demostración Demostración En la categoría de grupos abelianos, todo grupo divisible (por ejemplo Q) es inyectivo; para un grupo A se construye una resolución inyectiva incrustando A en un grupo inyectivo I^0 (por ejemplo su envoltura inyectiva), luego tomando el cokernel y embebiendo éste en I^1, etc. Aplicar Hom(−,N) a la resolución da un complejo cuya cohomología calcula Ext^*(A,N). ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Sustituir términos inyectivos por módulos no inyectivos destruye la exactitud necesaria para calcular funtores derivados y conduce a Ext o grupos de cohomología erróneos. Otro error habitual es asumir que existen resoluciones inyectivas en toda categoría abeliana sin verificar que haya 'suficientes inyectivos'; algunas categorías requieren técnicas alternativas (complejos K‑inyectivos, representabilidad de Brown o reemplazos por estructuras de modelos) cuando faltan inyectivos. ## Consecuencia Consecuencia Cuando existen, las resoluciones inyectivas proporcionan el método estándar para calcular funtores derivados derechos, definir categorías derivadas de forma concreta y estudiar cohomología local y teorías de dualidad (dualidad de Matlis, dualidad de Grothendieck), donde las coresoluciones inyectivas revelan fenómenos de extensión y soporte. ## Inversión Inversión La noción dual es la resolución proyectiva usada para calcular funtores derivados izquierdos; comparar ambas enfatiza que los cálculos derivados izquierdos versus derechos requieren reemplazos proyectivos o inyectivos, y que en muchas categorías prácticas se elige el lado (proyectivo o inyectivo) con suficientes objetos manejables. ## Límite Límite Requiere una categoría abeliana con suficientes inyectivos para garantizar la existencia de resoluciones inyectivas; en categorías sin suficientes inyectivos hay que usar alternativas (complejos K‑inyectivos, representabilidad de Brown o estructuras de modelos). Incluso cuando existen, las resoluciones inyectivas pueden ser voluminosas o no constructivas, dificultando su cálculo explícito en la práctica. ## Tensión semántica Tensión semántica Compite con resoluciones proyectivas y otras técnicas de reemplazo (K‑inyectivos, estructuras de modelo inyectivas): las resoluciones inyectivas son canónicas cuando están disponibles pero pueden ser engorrosas, mientras que los métodos de categoría derivada permiten reemplazos más flexibles pero abstractos; la confusión aparece si se equiparan existencia, calculabilidad y functorialidad. ## Síntesis Síntesis Una resolución inyectiva es la coresolución canónica de un objeto por inyectivos cuyos complejos Hom calculan los funtores derivados derechos; es la herramienta dual a las resoluciones proyectivas, indispensable cuando existen inyectivos para calcular Ext, cohomología local y fenómenos de dualidad, aunque se requieren alternativas en categorías sin suficientes inyectivos.