## [Lema de Fitting](/es/node/63935) Definición Lema en teoría de módulos y álgebra lineal que afirma que para un endomorfismo f de un módulo M de longitud finita (o de un espacio vectorial de dimensión finita) existe N tal que M = Ker(f^N) ⊕ Im(f^N); equivalentemente, M se descompone en una parte nilpotente y una parte sobre la que f actúa invertiblemente. ## Principio Principio La iteración de un endomorfismo en un módulo de longitud finita estabiliza núcleos e imágenes; una vez que ocurre la estabilización el módulo se divide en el núcleo generalizado nilpotente y el espacio generalizado unitario, reflejando la dicotomía nilpotente/automorfa. ## Demostración Demostración Ejemplo concreto: en un espacio vectorial de dimensión finita un operador lineal tiene descomposición de Jordan; tomando N mayor que el tamaño máximo de los bloques de Jordan con valor propio 0 se obtiene la descomposición Ker(f^N) ⊕ Im(f^N). ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicar el lema de Fitting a módulos sin longitud finita o a operadores en espacios infinitodimensionales sin verificar la estabilización de núcleos e imágenes; suponer la descomposición sin la hipótesis de finitud puede fallar. ## Consecuencia Consecuencia Proporciona una división canónica usada en teoría de la estructura (descomposición de módulos, descomposición primaria, clasificación de operadores lineales) y permite controlar submódulos invariantes y el comportamiento de endomorfismos modulo la parte nilpotente. ## Inversión Inversión A la inversa, si un módulo se descompone como suma directa de un submódulo nilpotente y un submódulo f‑invariante sobre el que f es invertible, entonces potencias apropiadas de f realizan la descomposición; el lema y su inversa caracterizan la separación en contextos de longitud finita. ## Límite Límite Requiere longitud finita (o condiciones noetherianas/artinianas) para asegurar la estabilización; no se aplica automáticamente a módulos infinitos arbitrarios ni a operadores sin estabilización eventual de núcleo/imagen. ## Tensión semántica Tensión semántica A menudo se compara con la descomposición de Jordan–Chevalley o la descomposición primaria: el lema de Fitting aborda la dicotomía nilpotente versus unidad para un único endomorfismo en módulos de longitud finita, mientras que Jordan–Chevalley separa partes semisimples y nilpotentes en característica cero. ## Síntesis Síntesis El lema de Fitting aísla el fenómeno de longitud finita por el que la aplicación reiterada de un endomorfismo separa el módulo en un núcleo nilpotente y un complemento invertible, proporcionando una descomposición práctica y canónica para el análisis de módulos y operadores.