## [Teorema de Lie](/es/node/63933) Definición Teorema de la teoría de representaciones de álgebras de Lie que afirma que toda álgebra de Lie resoluble de dimensión finita de transformaciones lineales sobre un cuerpo algebraicamente cerrado tiene un vector propio común en el espacio vectorial subyacente; equivalentemente, las representaciones de álgebras resolubles son triangularizables. ## Principio Principio La resolubilidad restringe la acción lo suficiente como para producir subespacios invariantes de dimensión uno; aplicando esto iterativamente se obtiene una bandera completa de subespacios invariantes y una base en la que los operadores son triangulares superiores. ## Demostración Demostración Ejemplo concreto: una subálgebra resoluble de gl_n(C) puede conjugarse a la álgebra de matrices triangulares superiores; en la práctica se encuentra un vector propio común y se reduce por inducción en la dimensión para triangularizar la representación. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar el teorema de Lie sobre un campo no algebraicamente cerrado, o asumir que se aplica a álgebras no resolubles o representaciones de dimensión infinita; por ejemplo, esperar un vector propio común sobre los reales para toda álgebra de Lie resoluble real sin complejificar es incorrecto. ## Consecuencia Consecuencia El teorema da triangularización de representaciones resolubles, lo que implica la existencia de series de composición, facilita el cálculo de caracteres y pesos y sustenta resultados estructurales en teoría de representaciones y el estudio de banderas invariantes. ## Inversión Inversión La conversión 'si una representación es triangularizable entonces el álgebra que actúa es resoluble' es cierta en el contexto finito‑dimensional, de modo que triangularizabilidad y resolubilidad están estrechamente relacionadas aunque son nociones distintas en contextos más generales. ## Límite Límite Requiere finitud dimensional y un campo base algebraicamente cerrado (enunciado clásico sobre C); no se cumple en general sobre campos arbitrarios sin modificación y falla para álgebras de Lie no resolubles. ## Tensión semántica Tensión semántica A veces se confunde con el teorema de Engel o con resultados generales de triangularización; la tensión radica en la distinción entre la existencia de un vector propio común y condiciones operatorias más fuertes de nilpotencia que garantizan la nilpotencia del álgebra. ## Síntesis Síntesis El teorema de Lie conecta la resolubilidad de una álgebra de Lie con la existencia de subespacios invariantes de dimensión uno en representaciones lineales finitas sobre campos algebraicamente cerrados, produciendo formas triangulares que hacen evidente la estructura de composición de la representación.