##  [Teorema de Burnside P^a Q^B](/es/node/63927) 

 Definición

Teorema de la teoría de grupos finitos que afirma que cualquier grupo finito cuya orden tenga a lo sumo dos primos distintos en su factorización, es decir de la forma p^a q^b, es un grupo resoluble.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Restringir la factorización prima de la orden del grupo a como máximo dos primos distintos impone limitaciones estructurales (mediante subgrupos de Sylow, normalizadores y argumentos combinatorios o de caracteres) que impiden la presencia de factores simples no abelianos y conducen a la resolubilidad.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Ejemplo concreto: todo grupo de orden 18 = 2 · 3^2 debe ser resoluble; un estudio de los subgrupos de Sylow y sus normalizadores muestra la existencia de una serie normal no trivial con cocientes abelianos.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema a grupos cuya orden involucra tres primos distintos o a grupos infinitos; por ejemplo, concluir resolubilidad para un grupo de orden pqr sin comprobar las restricciones combinatorias pertinentes es incorrecto.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Cuando se aplica, el teorema descarta la existencia de grupos simples no abelianos de tales órdenes y permite construir series normales explícitas, lo que facilita la clasificación y problemas de representación para esos grupos finitos.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La afirmación 'todo grupo finito resoluble tiene orden p^a q^b' es falsa: la resolubilidad no implica que la orden tenga a lo sumo dos primos distintos, por lo que invertir el teorema conduce a un criterio engañoso.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica solo a grupos finitos y a órdenes con como máximo dos primos distintos; no cubre órdenes con tres o más primos, ni clasifica por completo la estructura de los grupos resolubles de esa orden.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

A menudo se confunde con otros resultados atribuidos a Burnside o versiones que requieren hipótesis adicionales; la tensión está entre la hipótesis numérica simple y los argumentos más profundos de teoría de representaciones que sostienen la resolubilidad.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El teorema de Burnside P^a Q^b conecta una restricción aritmética sobre la orden del grupo con una conclusión estructural contundente: limitar el número de primos distintos impone suficiente estructura normal para garantizar la resolubilidad.