## [Teorema de Intersección de Krull](/es/node/63918) Definición Resultado estructural sobre la topología I-ádica en anillos: bajo hipótesis estándar (por ejemplo R noetheriano e I contenido en el radical jacobsoniano, típicamente en el caso local o completo noetheriano) la intersección de todas las potencias de un ideal propio I, ⋂_{n≥1} I^n, es {0}. El teorema describe cuándo la aplicación natural de R a su completación I-ádica es inyectiva, es decir, cuándo R está separado para la topología I-ádica. ## Principio Principio Separación adica: las potencias decrecientes de un ideal definen una topología I-ádica y, cuando el anillo satisface noetherianidad o condiciones de completitud, ningún elemento no nulo puede pertenecer a todas las potencias. Equivalentemente, el único elemento topológicamente indistinguible de cero es cero mismo. ## Demostración Demostración Ejemplo: R = k[[x1,…,xr]] anillo de series formales sobre un cuerpo k y I = (x1,…,xr). Toda serie no nula tiene un término de grado total mínimo, por lo que no puede pertenecer a todas las I^n; por tanto ⋂ I^n = {0}. Esto muestra la separación I-ádica en ejemplos locales completos regulares. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que el teorema vale para anillos arbitrarios o para ideales no contenidos en el radical jacobsoniano. Aplicarlo a un anillo no noetheriano o a un ideal que no define la topología ádica adecuada puede implicar falsamente unicidad de expansiones o inyectividad de la completación. ## Consecuencia Consecuencia Cuando es aplicable, los elementos y módulos tienen expansiones I-ádicas únicas y el functor de completación es fiel sobre R; esto permite reducir preguntas al caso completo ádico y asegura que los límites topológicos reflejen anulaciones algebraicas. ## Inversión Inversión La situación contraria ocurre cuando ⋂ I^n es no trivial: el anillo no está separado en la topología I-ádica, de modo que elementos no nulos son indistinguibles de cero. Dicha no separación obstaculiza elevaciones, unicidad de expansiones e inyectividad de las aplicaciones de completación. ## Límite Límite Se aplica a anillos e ideales que cumplen las hipótesis adicas — clásicamente anillos locales noetherianos (a menudo completos) o anillos noetherianos con I en el radical jacobsoniano. No se extiende automáticamente a anillos arbitrarios, a ideales fuera del radical jacobsoniano ni a topologías no generadas por potencias de ideales. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión con fenómenos tipo Nakayama y con la noción de completitud: Krull Intersection afirma separación (inyectividad hacia la completación) mientras que la completitud trata sobre sobreyectividad; un anillo puede estar separado pero no completo y viceversa. ## Síntesis Síntesis El Teorema de Intersección de Krull afirma que, bajo noetherianidad y hipótesis afines, la topología I-ádica separa puntos al garantizar que ningún elemento no nulo pertenezca a todas las potencias de I; esto fundamenta la unicidad en expansiones ádicas y la inyectividad de la completación.