## [Teorema de Ideales Principales de Krull](/es/node/63916) Definición Teorema de teoría de la dimensión que establece que en un anillo noetheriano R, cualquier ideal primo minimal que está sobre un ideal principal (f) tiene altura a lo sumo uno; equivalentemente, la altura de cualquier primo minimal sobre un ideal generado por r elementos es ≤ r (en particular el caso principal da la cota uno). ## Principio Principio Una única ecuación no puede definir componentes de codimensión mayor que uno en un anillo noetheriano: el número de generadores de un ideal proporciona una cota superior sobre la codimensión de sus componentes primarias minimales. ## Demostración Demostración En el polinomio k[x,y,z], el ideal principal (f) define una hipersuperficie cuyas componentes irreducibles son de codimensión uno; los primos minimales sobre (f) corresponden a factores irreducibles y sus alturas son ≤ 1, lo que ilustra el teorema. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que la cota de altura se mantiene sin la hipótesis noetheriana o para ideales que no están generados por el número de elementos indicado; en anillos no noetherianos o para ideales que requieren más generadores la cota puede fallar. ## Consecuencia Consecuencia Proporciona control básico sobre dimensión y codimensión en álgebra conmutativa, se usa para deducir propiedades de divisores e hipersuperficies, y sustenta argumentos donde una sola ecuación produce subvariedades de codimensión uno. ## Inversión Inversión La inversión—que todo primo de altura ≤ 1 surge como primo minimal sobre algún ideal principal—es falsa en general; aunque muchos primos de altura uno son principales en clases concretas de anillos (p. ej. UFDs), el teorema sólo da una cota superior, no una caracterización. ## Límite Límite Se aplica a anillos noetherianos y concierne a primos minimales sobre ideales generados por un número dado de elementos; excluye anillos no noetherianos y no afirma la existencia de primos de una altura dada, sólo cotas superiores para primos sobre generadores dados. ## Tensión semántica Tensión semántica Hay tensión entre el teorema principal de ideales de Krull (una cota sobre alturas) y afirmaciones más finas como Cohen–Macaulay o propiedades de factorización única que proporcionan información estructural más fuerte; no debe sobreinterpretarse la cota de altura como clasificación estructural. ## Síntesis Síntesis El teorema de ideales principales de Krull limita cómo las ecuaciones reducen la dimensión en anillos noetherianos: una ecuación principal sólo puede introducir componentes minimales de codimensión uno, proporcionando una cota fundamental usada en la teoría de la dimensión y el estudio de hipersuperficies.