## [Pequeño Teorema de Wedderburn](/es/node/63907) Definición El teorema que afirma que todo anillo de división finito es conmutativo; equivalentemente, cualquier anillo de división finito es un campo finito. Muestra que no pueden existir álgebras de división no conmutativas finitas. ## Principio Principio La finitud fuerza la conmutatividad en una álgebra de división: sobre un centro finito la estructura del grupo multiplicativo y las extensiones de campo interactúan de modo que los elementos no centrales no pueden mantenerse no centrales en un entorno finito. ## Demostración Demostración Si D es un anillo de división finito, su centro Z es un cuerpo finito F_q y D es un álgebra de dimensión finita sobre Z. Considerando conjugación y argumentos de conteo (o usando que los grupos multiplicativos de cuerpos finitos son cíclicos en situaciones adecuadas), se deduce que todo elemento es central, luego D = Z es un campo. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir el pequeño teorema de Wedderburn con el teorema de Artin–Wedderburn sobre la estructura de álgebras semisimples, o aplicar la conclusión de conmutatividad a álgebras de división infinitas como los cuaterniones reales. ## Consecuencia Consecuencia Clasifica completamente las álgebras de división finitas: son exactamente los campos finitos, simplificando el estudio de anillos de división finitos e influyendo en consideraciones de teoría de grupos finitos y teoría de cuerpos. ## Inversión Inversión En contextos infinitos existen verdaderas álgebras de división no conmutativas (por ejemplo ciertas álgebras de cuaterniones), por lo que la finitud es crucial; invertir la hipótesis de finitud da numerosos contraejemplos. ## Límite Límite Se aplica únicamente a anillos de división finitos (en cardinal); no restringe anillos de división infinitos ni anillos más generales no íntegros y no debe confundirse con la clasificación de álgebras semisimples. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión con Artin–Wedderburn: el pequeño teorema de Wedderburn trata álgebras de división finitas, forzando la conmutatividad, mientras que Artin–Wedderburn clasifica álgebras semisimples que pueden tener componentes simples no conmutativas. ## Síntesis Síntesis El pequeño teorema de Wedderburn afirma que la finitud elimina la no conmutatividad en anillos de división: todo anillo de división finito debe ser un campo, por lo que las únicas álgebras de división finitas son los campos finitos.