##  [Teorema de Maschke](/es/node/63905) 

 Definición

Criterio para la reducibilidad completa de representaciones de un grupo finito G sobre un cuerpo k: la álgebra de grupo kG es semisimple (equivalente a que toda representación de dimensión finita sea totalmente reducible) precisamente cuando la característica de k no divide el orden de G.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Promediar sobre el grupo usando una suma normalizada produce complementos invariantes por G cuando existen los denominadores; la existencia del idempotente promediado es la idea organizadora detrás de la semisimplicidad.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Si char(k) no divide |G|, entonces para cualquier subrepresentación U ⊆ V se puede promediar una proyección sobre U a lo largo de G para obtener una proyección G-equivarante, escindiendo la inclusión y dando V ≅ U ⊕ U'. Así toda representación se descompone en suma directa de irreducibles.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Usar Maschke cuando la característica del cuerpo divide |G| (caso modular): el promediado falla porque |G| es cero en k, y las representaciones no tienen por qué ser completamente reducibles.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Garantiza la semisimplicidad de las álgebras de grupo en el caso no modular, permitiendo la descomposición en módulos simples, la teoría de caracteres y muchos resultados estructurales en teoría de representaciones de grupos finitos.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

En el caso modular (característica que divide |G|) aparecen estructuras más ricas con módulos indecomponibles no simples, cubiertas proyectivas y descomposición en bloques en lugar de reducibilidad completa.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica a grupos finitos y representaciones de dimensión finita sobre cuerpos; la hipótesis clave es que char(k) ∤ |G|; grupos infinitos o representaciones infinitas requieren otras herramientas.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre la semisimplicidad de Maschke (no modular) y la teoría modular de representaciones: Maschke ofrece una descomposición limpia cuando existen denominadores, mientras que la situación modular produce extensiones sutiles y bloques.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El teorema de Maschke afirma que, para grupos finitos sobre cuerpos cuya característica no divide el orden del grupo, el promediado produce complementos invariantes y por tanto la reducibilidad completa de las representaciones; la ausencia de la condición sobre el denominador conduce a la complejidad modular.