##  [Lema de Schur](/es/node/63904) 

 Definición

Afirmación sobre homomorfismos entre módulos (o representaciones) simples: cualquier homomorfismo no nulo entre módulos simples es un isomorfismo; en consecuencia, el anillo de endomorfismos de un módulo simple es un anillo con división (y sobre un cuerpo algebraicamente cerrado coincide con el cuerpo de escalares).

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

La simplicidad impone rigidez de morfismos: los objetos simples no admiten subobjetos propios no nulos, por lo que las aplicaciones entre ellos son nulas o invertibles, haciendo que sus endomorfismos se comporten como escalares.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Si V y W son representaciones irreducibles de un grupo sobre un cuerpo k y f: V → W es una aplicación G-lineal no nula, entonces ker f e im f son submódulos G; la simplicidad implica ker f = 0 e im f = W, por lo que f es un isomorfismo. Para V simple, End_G(V) es una división algebra sobre k.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer que End(V) = k únicamente porque V es simple cuando el cuerpo base no es algebraicamente cerrado; o aplicar el lema a módulos que no son simples.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Sustenta muchos resultados en teoría de representaciones: clasificación de irreducibles, relaciones de ortogonalidad de Schur y el uso de álgebras de división de endomorfismos en la teoría de bloques y en el estudio de álgebras simples centrales.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Para módulos no simples, los anillos de endomorfismos pueden ser grandes y las aplicaciones no tienen por qué ser nulas o invertibles; la simplicidad es la hipótesis decisiva que se pierde en la inversión.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica a módulos o representaciones simples/irreducibles; en contextos de dimensión infinita hay que verificar hipótesis de categoría y topología si las hubiera; la conclusión End = cuerpo base requiere clausura algebraica.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión con resultados sobre módulos semisimples: Schur describe los endomorfismos de los pedazos simples individuales, mientras que la semisimplicidad trata la descomposición en tales piezas; puede haber rigidez en los endomorfismos de los simples mientras que las descomposiciones globales varían.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El lema de Schur sintetiza la rigidez de los objetos irreducibles: las aplicaciones no nulas entre ellos son isomorfismos, y sus endomorfismos forman una álgebra de división que se reduce a escalares cuando el cuerpo base es algebraicamente cerrado.