##  [Teorema de Krull–Schmidt](/es/node/63903) 

 Definición

Resultado de unicidad para descomposiciones en suma directa: bajo hipótesis de finitud adecuadas (por ejemplo módulos de longitud finita o módulos sobre un anillo semiperfecto), cualquier descomposición de un módulo en sumandos indecomponibles es única salvo reordenamiento e isomorfismo de los sumandos.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Los sumandos indecomponibles actúan como bloques atómicos bajo condiciones de finitud, y las descomposiciones en suma directa poseen una propiedad de cancelación/rigidez que garantiza la unicidad.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Sea M un módulo de longitud finita con descomposiciones M ≅ ⊕_{i=1}^r A_i ≅ ⊕_{j=1}^s B_j donde A_i, B_j son indecomponibles; Krull–Schmidt afirma que r = s y, tras reordenar, A_i ≅ B_i para cada i.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer unicidad de descomposición en indecomponibles sin comprobar hipótesis: existen anillos y módulos (sin condiciones de finitud o semiperfectas) con descomposiciones no únicas en indecomponibles.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Permite clasificar módulos por sus sumandos indecomponibles, sustenta teoremas de estructura en teoría de representaciones y en categorías de módulos, y permite leer invariantes a partir de descomposiciones.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

En contextos sin las hipótesis de Krull–Schmidt, las descomposiciones pueden no ser únicas y los sumandos indecomponibles no son invariantes canónicos; la cancelación puede fallar.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica bajo condiciones explícitas de finitud/semiperfectas (longitud finita, anillos artinianos o semiperfectos); no vale automáticamente para módulos generados infinitamente ni para anillos arbitrarios.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión con la unicidad tipo Jordan–Hölder (factores de composición simples hasta orden): Krull–Schmidt trata factores indecomponibles en suma directa, distinto en alcance e hipótesis.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Krull–Schmidt establece que, cuando se cumplen las condiciones de tamaño y tipo de anillo, un módulo se descompone de manera única en sumandos indecomponibles, que son las piezas atómicas canónicas para su clasificación.