##  [Lema de Nakayama](/es/node/63901) 

 Definición

Afirmación sobre módulos finitamente generados sobre un anillo local (o más generalmente sobre un anillo con radical de Jacobson J): si M es un R-módulo finitamente generado y M = J·M entonces M = 0; equivalentemente, un conjunto cuyos imágenes generan M/JM se eleva para generar M.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

El papel determinante del ideal maximal (o del radical de Jacobson) al pasar de la generación módulo el radical a la generación sobre todo el anillo para módulos finitamente generados.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Sea (R,m) un anillo local y M un R-módulo finitamente generado. Si x1,...,xn tienen imágenes que generan M/mM entonces x1,...,xn generan M; en particular, si M = mM entonces M = 0.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar el lema a módulos no finitamente generados, a anillos no locales (o sin comprobar la hipótesis sobre el radical de Jacobson), o concluir propiedades de generación sin verificar la condición sobre el radical.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona la existencia y la estabilidad (hasta multiplicación por unidades) de conjuntos mínimos de generadores para módulos finitamente generados sobre anillos locales y es una herramienta clave en argumentos sobre dimensiones, cambio de base y elevación de generadores.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Si un conjunto no genera M módulo mM, entonces no genera M; a la inversa, datos sobre generadores sobre R no son necesariamente visibles módulo m sin las hipótesis de finitud y radical.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere la finitud del módulo y la hipótesis adecuada sobre el radical (ideal maximal en el caso local o radical de Jacobson en la forma general); no es válida para módulos arbitrarios ni sin la condición sobre el radical.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre la perspectiva local/modulo-radical (una prueba finita para la generación) y el comportamiento global de módulos donde criterios locales pueden fallar; a veces se confunde Nakayama con una afirmación válida para cualquier anillo.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El lema de Nakayama afirma que, para módulos finitamente generados, la generación puede comprobarse módulo el radical de Jacobson y que la anulación módulo ese radical implica anulación, haciendo del radical la obstrucción clave para elevar generadores.