## [Teorema de Artin–Wedderburn](/es/node/63899) Definición El teorema de Artin–Wedderburn clasifica los anillos artinianos semisimples: todo anillo artiniano semisimple es isomorfo a un producto directo finito de álgebras de matrices sobre anillos divisionarios. En particular, una álgebra semisimple de dimensión finita sobre un campo es suma directa finita de álgebras de matrices completas sobre álgebras divisionarias. ## Principio Principio La semisimplicidad fuerza la reducibilidad completa: un anillo artiniano semisimple se descompone en ideales bilaterales simples, cada uno isomorfo a una álgebra de matrices sobre un anillo divisionario, dando una descripción estructural completa. ## Demostración Demostración Ejemplo: Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k, toda k‑álgebra semisimple de dimensión finita es isomorfa a un producto directo de álgebras de matrices M_{n_i}(k); por ejemplo k × M_2(k) es semisimple con dos sumandos simples de dimensiones 1 y 2. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicar el teorema a anillos que no sean artinianos o no sean semisimples (p. ej. anillos con radical de Jacobson no nulo) o esperar una descomposición en producto directo infinito; el teorema requiere hipótesis artinianas y produce un producto finito de álgebras de matrices. ## Consecuencia Consecuencia Proporciona la clasificación completa de los módulos simples (corresponden a las columnas de los factores matriciales), identifica el centro como producto de los centros de los anillos divisionarios y reduce muchas preguntas de representación a álgebra lineal sobre anillos divisionarios. ## Inversión Inversión Si un anillo no es semisimple (tiene radical de Jacobson no nulo) la descomposición Artin–Wedderburn falla; la parte radical codifica extensiones que impiden la separación en factores matriciales. ## Límite Límite Se aplica a anillos artinianos semisimples (o álgebras semisimples de dimensión finita); no se aplica a productos directos infinitos, anillos no artinianos ni a anillos con radical, y requiere tratar con anillos divisionarios en lugar de necesariamente cuerpos en casos no conmutativos. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre la descomposición de Artin–Wedderburn y descomposiciones más generales (p. ej. Wedderburn–Malcev para anillos con radical): Artin–Wedderburn da el núcleo semisimple, mientras que otros teoremas describen cómo se adhiere el radical a ese núcleo. ## Síntesis Síntesis Artin–Wedderburn afirma que la porción semisimple de un anillo artiniano es un producto finito de álgebras de matrices sobre anillos divisionarios, proporcionando una descripción concreta y completa de los constituyentes simples del anillo y de su teoría de módulos.