##  [Longitud de Loewy](/es/node/63894) 

 Definición

La longitud de Loewy de un módulo M (o de una álgebra vista como módulo sobre sí misma) es el menor entero n tal que la filtración de Loewy (por socles) alcanza M en n pasos: 0 = L_0 ⊂ L_1 ⊂ ··· ⊂ L_n = M, donde cada cociente L_{i+1}/L_i es el socle de M/L_i.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Mide el número de 'capas' semisimples necesarias para construir el objeto a partir de submódulos simples añadiendo iterativamente el socle; cuantifica la profundidad de la no semisimplicidad.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Ejemplo: Para la álgebra local k[x]/(x^n) vista como módulo regular, el socle está generado por x^{n-1} y la longitud de Loewy del módulo regular es n. Un módulo semisimple tiene longitud de Loewy 1.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Confundir la longitud de Loewy con la longitud de composición o la dimensión de Krull; a diferencia de la longitud de composición, la longitud de Loewy cuenta capas de socle y puede comportarse de modo distinto frente a finitud o infinitud.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

La longitud de Loewy finita da una filtración finita por capas semisimples, facilita argumentos inductivos y está estrechamente relacionada con índices de nilpotencia de radicales: para módulos artinianos la nilpotencia del radical de Jacobson controla la longitud de Loewy del módulo regular.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Longitud de Loewy igual a 1 caracteriza objetos semisimples; una longitud mayor indica capas sucesivas de extensiones entre constituyentes simples.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica a módulos sobre anillos donde el socle tiene sentido (típicamente bajo ACC/DCC); para módulos sin socle bien comportado o ciertos módulos infinitos la serie de Loewy puede no estabilizar o requerir pasos transfinitos.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre longitud de Loewy y longitud de composición: ambas miden la 'talla' de un módulo pero según filtraciones distintas (capas de socle vs factores simples de Jordan–Hölder), dando invariantes diferentes en problemas de extensiones.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La longitud de Loewy es un recuento por capas: el número mínimo de iteraciones de socle para ensamblar el módulo; proporciona una medida discreta de la distancia a la semisimplicidad y se relaciona con la nilpotencia de los radicales en contextos artinianos.