## [Codimensión](/es/node/63886) Definición La codimensión es una medida numérica que compara la dimensión ambiente con la dimensión de un subobjeto; para un ideal primo p en un anillo noetheriano R, la coaltura (codimensión) es dim(R) - altura(p), y para una subvariedad es la diferencia entre la dimensión ambiente y la de la subvariedad. ## Principio Principio Cuantificar cuántas condiciones independientes impone pasar del objeto ambiente al subobjeto: la codimensión cuenta la caída en la dimensión de Krull y es aditiva en las situaciones geométricas regulares esperadas. ## Demostración Demostración En R = k[x,y,z] (dim 3), el ideal de un plano definido por una ecuación lineal tiene codimensión 1; el ideal de una recta dado por dos ecuaciones lineales independientes tiene codimensión 2, coherente con la pérdida de dimensión. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que la codimensión es igual al número mínimo de generadores del ideal que define el subobjeto en todos los casos; en situaciones singulares o de intersecciones no completas el número mínimo de generadores puede superar la codimensión. ## Consecuencia Consecuencia La codimensión predice dimensiones de intersección esperadas y aparece en fórmulas de dimensión, declaraciones de dualidad y en el conteo de parámetros para familias: un subobjeto de codimensión c reduce localmente c dimensiones del ambiente. ## Inversión Inversión La visión complementaria es la altura: en lugar de medir cuánto se aleja un objeto del ambiente, la altura mide cuánto está por encima del fondo de Spec(R); la codimensión puede verse como la altura medida desde la cúspide. ## Límite Límite La codimensión requiere una noción de dimensión ambiente; en anillos sin dimensión de Krull finita la diferencia puede ser indefinida o infinita. Para subschemes no primos la codimensión puede ser esquemática y diferir de la codimensión topológica. ## Tensión semántica Tensión semántica La codimensión en geometría algebraica puede entrar en tensión con la codimensión lineal (dimensión del espacio cociente) cuando la estructura esquemática o las singularidades están presentes; la codimensión algebraica es krulliana y no meramente conteo de generadores. ## Síntesis Síntesis La codimensión mide la pérdida de dimensión de Krull al restringir a un subobjeto: un invariante esencial para contabilizar cuántas condiciones independientes o ecuaciones definen ese subobjeto respecto a su espacio ambiente.