## [Altura (de un Ideal Primo)](/es/node/63884) Definición Para un ideal primo p en un anillo conmutativo R, la altura de p es el supremo de las longitudes n de cadenas estrictamente crecientes de ideales primos p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn = p; equivalente a la codimensión de Krull de p en Spec(R). ## Principio Principio Organizar los ideales primos por inclusión: la altura cuenta cuántos pasos de contención no triviales hay por debajo de un primo dado y mide su posición en la retícula de inclusiones de Spec(R). ## Demostración Demostración En el anillo de polinomios k[x,y], el ideal cero (0) tiene altura 0, un primo principal como (x) tiene altura 1 y un ideal maximal (x - a, y - b) tiene altura 2; así las cadenas muestran los incrementos sucesivos de codimensión. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir la altura con el número mínimo de generadores del ideal primo o con el número de ecuaciones necesarias para definir la variedad correspondiente; son invariantes distintos que pueden diferir en casos singulares. ## Consecuencia Consecuencia Conocer las alturas controla los recuentos de dimensión para localizaciones y cocientes: height(p) = dim(R_p), y las alturas aparecen en fórmulas de dimensión y en estratificaciones de Spec(R). ## Inversión Inversión La noción dual es la coaltura (codimensión medida desde los ideales maximales hacia abajo): en lugar de contar los primos debajo de p, se cuentan los primos que lo contienen hasta los maximales. ## Límite Límite Definida para ideales primos en anillos donde las cadenas de primos tienen sentido; para un ideal arbitrario se pueden considerar las alturas de sus primos minimales pero no siempre existe una altura canónica del ideal en sí; en contextos no conmutativos las distinciones izquierda/derecha alteran la noción. ## Tensión semántica Tensión semántica La altura se confunde con facilidad con la profundidad (invariante homológica de módulos) o con el número mínimo de generadores; la altura es un concepto de orden/ dimensión de Krull, la profundidad involucra secuencias regulares y grupos Ext. ## Síntesis Síntesis La altura de un ideal primo es la posición, en sentido de Krull, de ese primo dentro de Spec(R): una medida numérica de cuántas inclusiones propias de primos terminan en él, que controla la dimensión local y representa la codimensión geométrica de la pieza correspondiente.