## [Anillo Local Regular](/es/node/63875) Definición Un anillo local noetheriano (R, m) cuya dimensión de Krull es igual al número mínimo de generadores de su ideal maximal m; de forma equivalente, R tiene dimensión homológica (global) finita igual a esa dimensión de Krull. ## Principio Principio La regularidad se organiza por la igualdad entre la dimensión geométrica intrínseca (dimensión de Krull) y la dimensión de inmersión (número mínimo de generadores de m); dicha igualdad codifica finitud homológica y la ausencia de ciertas relaciones entre generadores. ## Demostración Demostración El anillo de series formales k[[x1,...,xn]] o la localización k[x1,...,xn]_{(x1,...,xn)} son anillos locales regulares de dimensión n: su ideal maximal está generado por los parámetros coordenados y la dimensión homológica global vale n. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Afirmar que un anillo es regular porque su ideal maximal puede generarse por n elementos sin verificar la hipótesis noetheriana o la igualdad con la dimensión de Krull; confundir un elemento regular o una secuencia regular con la regularidad del anillo local. ## Consecuencia Consecuencia Los módulos sobre un anillo local regular tienen dimensiones proyectivas finitas acotadas por la dimensión del anillo; estos anillos son Cohen–Macaulay y su espectro es liso en el punto cerrado, facilitando el comportamiento de deformaciones e intersecciones. ## Inversión Inversión Un anillo local irregular (singular) tiene dimensión de inmersión estrictamente mayor que su dimensión de Krull; tales anillos muestran patologías homológicas (dimensiones proyectivas infinitas para algunos módulos) y modelan singulares locales. ## Límite Límite Se aplica solo a anillos locales noetherianos; excluye anillos no noetherianos, anillos no locales (salvo aplicarlo a cada localización en ideales maximales) y afirmaciones sobre suavidad global de esquemas no afines sin verificación local. ## Tensión semántica Tensión semántica El término 'regular' también se usa para 'liso' en geometría o para indicar un buen comportamiento en lenguaje corriente; en este sentido algebraico es una igualdad técnica y homológica, no una noción vaga de 'bien comportado'. ## Síntesis Síntesis Un anillo local regular es un modelo local noetheriano cuya dimensión coincide con el número mínimo de parámetros locales —equivalente a poseer dimensión homológica finita— y representa algebraicamente un punto no singular.