## [Dimensión Finitista](/es/node/63867) Definición Invariante homológica definida como el supremo de las dimensiones proyectivas de los módulos (u objetos) que tienen dimensión proyectiva finita; a menudo se denomina pequeña dimensión finitista cuando se toma sobre módulos finitamente generados. ## Principio Principio Mide la máxima complejidad proyectiva finita que realmente aparece entre los módulos con resoluciones proyectivas finitas, ignorando los de dimensión proyectiva infinita. ## Demostración Demostración Para una álgegra de Artin Λ, fin.dim(Λ) = sup{pd M | M módulo Λ finitamente generado, pd M < ∞}. En muchas clases de álgebras este supremo es finito; la finitud es una conjetura central en teoría de representaciones. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir la dimensión finitista con la dimensión global; la dimensión global considera todos los módulos y puede ser infinita mientras que la finitista solo cuenta los de dimensión proyectiva finita. ## Consecuencia Consecuencia La finitud de la dimensión finitista proporciona cotas uniformes sobre las dimensiones proyectivas de los módulos que admiten resoluciones finitas y tiene implicaciones para la anulación de Ext y otras conjeturas homológicas. ## Inversión Inversión Si la dimensión finitista es infinita no existe una cota uniforme para las dimensiones proyectivas finitas y se pierde el control homológico sobre los módulos con resoluciones finitas. ## Límite Límite Se define restringiendo a módulos con dimensión proyectiva finita; el invariante depende de la categoría ambiente (p. ej. módulos finitamente generados vs todos los módulos) y de hipótesis como Artin o Noetherianas. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre la versión 'pequeña' (módulos finitamente generados) y la 'grande' (todos los módulos): pueden diferir y producir comportamientos y conjeturas homológicas distintos. ## Síntesis Síntesis La dimensión finitista resume la mayor complejidad proyectiva finita presente en la categoría en un único invariante, destacando si existen cotas uniformes para las resoluciones proyectivas finitas.