## [Inyectividad](/es/node/63861) Definición Un módulo E sobre un anillo R es inyectivo si todo mapa R-lineal desde un submódulo de cualquier módulo hacia E se extiende al módulo entero. Equivalentemente Hom_R(−,E) es exacto o Ext1_R(−,E) = 0; los inyectivos son cogeneradores en muchas categorías de módulos y cumplen criterios de extensión de tipo Baer. ## Principio Principio Propiedad de extensión de mapas: los módulos inyectivos aceptan mapas definidos en subestructuras sin obstáculo, sirven como receptáculos para extensiones y permiten testar problemas de extensión mapeando hacia inyectivos. ## Demostración Demostración Como Z-módulos, Q/Z es un cogenerador inyectivo: cualquier homomorfismo definido en un subgrupo de un grupo abeliano se extiende a Q/Z según el criterio de Baer. Sobre campos, todos los espacios vectoriales son inyectivos y proyectivos, por lo que los problemas de extensión se trivializan. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir inyectividad con ser monomórfico o con proyectividad; los inyectivos no han de ser libres ni de generación finita, y tratarlos como duales de los proyectivos sin atender al contexto del anillo resulta engañoso. ## Consecuencia Consecuencia Disponer de suficientes inyectivos permite calcular funtores derivados a la derecha como Ext mediante resoluciones injectivas; las envolturas inyectivas proporcionan extensiones mínimas canónicas y son centrales en la clasificación de módulos y teoremas de descomposición. ## Inversión Inversión Los módulos no inyectivos obstruyen la extensión: existen mapas desde submódulos que no pueden extenderse, produciendo clases de extensión no triviales y requiriendo construcciones derivadas derechas para medir el fallo. ## Límite Límite La inyectividad es una propiedad categórica y homológica que depende fuertemente del anillo ambiente; la existencia de envolturas inyectivas y suficientes inyectivos se garantiza en categorías de módulos sobre anillos pero puede fallar en categorías abelianas más exóticas sin hipótesis adicionales. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre 'inyectivo' en el sentido algebraico de extensión y el uso topológico/ordinario de 'inyectivo' que significa uno a uno; aquí inyectivo se refiere a la capacidad de extensión, no a la inyectividad de morfismos. También tensión con proyectivo: nociones duales pero con asimetrías según el anillo. ## Síntesis Síntesis La inyectividad es la propiedad de que todo mapa desde un submódulo se extiende al módulo entero; es la noción homológica receptora, dual a la proyectividad, y sustenta resoluciones inyectivas, envolturas y la teoría de extensiones.