## [Proyectividad](/es/node/63859) Definición Un módulo P sobre un anillo R es proyectivo si es un sumando directo de un módulo libre; equivalently P tiene la propiedad de levantamiento: dada una sobreyección M → N y un morfismo P → N, existe un levantamiento P → M. Homológicamente equivale a Ext1_R(P,−) = 0. ## Principio Principio Los módulos proyectivos dividen sobreyecciones: los morfismos desde proyectivos se factoran a través de sobreyecciones, reflejando una capacidad similar a la libertad para levantar relaciones y hacer que ciertas sucesiones exactas se escindan cuando P es un sumando directo. ## Demostración Demostración Z es proyectivo como Z-módulo (de hecho libre de rango 1). Sobre un anillo local, todo módulo proyectivo finitamente generado es libre, de modo que la proyectividad allí se reduce a la existencia de una base; en cambio Z/2Z no es proyectivo sobre Z. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Asumir que todo proyectivo es libre sin hipótesis sobre el anillo; sobre anillos no locales o no principales existen proyectivos no libres. También confundir proyectivo con inyectivo mezcla roles homológicos duales. ## Consecuencia Consecuencia Los proyectivos simplifican el álgebra homológica: permiten resoluciones proyectivas cortas, anulan Ext^1 y posibilitan el escindido de sucesiones exactas en las que aparecen como sumandos, facilitando problemas de clasificación y levantamiento. ## Inversión Inversión Los módulos no proyectivos no siempre pueden levantar morfismos a través de sobreyecciones y pueden producir extensiones no triviales medidas por Ext; los problemas que requieren escindido o levantamiento se vuelven obstructivos y precisan resoluciones más largas. ## Límite Límite La proyectividad es, en general, más fuerte que la planitud y no implica finitud salvo que se especifique; muchos resultados sobre finitud o geométricos requieren además que el proyectivo sea finitamente generado o de presentación finita. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre la condición homológica abstracta 'proyectivo' y la intuición concreta 'libre': en algunos anillos coinciden, en otros existen proyectivos no libres que codifican información aritmética o geométrica sutil. ## Síntesis Síntesis La proyectividad significa ser un sumando directo de un módulo libre, o equivalentemente tener la propiedad de levantamiento para sobreyecciones; proporciona módulos que escinden sucesiones exactas y hacen desaparecer obstrucciones homológicas de primer orden.