##  [Antisimetrización](/es/node/63831) 

 Definición

Operación sobre un tensor o forma multilínea que proyecta sobre su parte alternante (antisimétrica) tomando la suma firmada sobre las permutaciones de los argumentos, produciendo un objeto que cambia de signo bajo permutaciones impares.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Usar el alternador A = (1/n!) ∑_{σ∈S_n} sgn(σ) σ; este operador es idempotente en características donde n! es invertible y da elementos con T(...,x_i,...,x_j,...) = −T(...,x_j,...,x_i,...) que se anulan si dos argumentos coinciden.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para v⊗w en V⊗V la alternación es (v⊗w − w⊗v)/2, correspondiente a un elemento de Λ^2(V); aplicada a funciones produce formas multilínea alternantes usadas en determinantes y productos en cuña.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

En característica 2 el homomorfismo del signo es trivial, así que la alternación por sgn(σ) se reduce a la suma ordinaria y no aísla las partes antisimétricas; omitir dividir por n! cuando es necesario invalida propiedades de proyección.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Genera potencias exteriores y formas multilínea alternantes centrales para determinantes, formas diferenciales y álgebra homológica; garantiza anulación en argumentos repetidos y codifica comportamiento de orientación ante permutaciones.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

El opuesto natural es la simetrización, que promedia sin signos y produce componentes invariantes por permutación; alternación y simetrización descomponen las potencias tensoriales en piezas complementarias cuando las factoriales son invertibles.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica en contextos multilínea y potencias tensoriales; hay que considerar anillos base de característica pequeña donde las factoriales se anulan, y notar que 'skew-symmetric' y 'alternating' coinciden si la característica ≠ 2 pero pueden diferir en general.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Distinguir 'alternante' (se anula si se repiten argumentos) de 'antisimétrico' (cambia de signo bajo intercambio): sobre cuerpos de característica distinta de 2 las nociones son equivalentes, en característica 2 se separan.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La alternación es el proyector de promediado firmado que extrae la componente antisimétrica de un objeto multilínea, produciendo potencias exteriores y formas que se anulan en entradas repetidas y se transforman por el signo de las permutaciones.